Algèbre centre et groupe dérivé

[louls]

Bonjour à tous!
alors voilà mon énoncé :
Soit A l'ensemble des applications affines de R cad l'ensemble des applications de la forme fa,b : R-->R x -> ax+b avec a réel non nul et b réel.

J'ai d'abord montré que A est un groupe pour la composition des applications, que si N est l'ensemble des application de la forme (x -> x+b) ac b réel alors N est un sous-groupe normal de A et que A/N est isomorphe a R*.

On me demande ensuite de déterminer le centre Z(A) de A ainsi que son groupe dérivé D(A).
Pour Z(A) j'arrive a avancer dans les calculs et je trouve Z(A)= {ax+b, a réel non nul et b réel} et pour D(A) je trouve (aa'x+ab'+b-b'-a'b)/aa' pour l'ensemble des commutateurs de A mais je ne sais pas quoi en faire ...
Merci de votre aide!

[girdav]

Bonjour,
peux-tu montrer tes calculs (pas forcément dans les détails) pour le centre?

[Ben314]

Salut,
Déjà, il me semble que ce que tu as écrit signifie que Z(A)=A ce qui est clairement faux vu que cela signifierait que A est commutatif (ce qu'il n'est pas).
Je me demande si tu ne t'est pas "embrouillé les pinceaux" concernant la loie de groupe dont A est muni : c'est la composition 'o' ( et pas l'addition ni la multiplication)...

Edit : tu t'est aussi légèrement gourré sur les commutateurs : le b-b'+ab'-a'b n'est pas divisé par aa'

[louls]

alors pour le Z(A) j'ai fais le calcul suivant :
j'ai posé g=ax+b et X=a'x+b'
gX=Xg équivalent à (...je passe les détails de calcul) aa'x+ab'+b=a'ax+a'b+b' donc eq à ab'+b=a'b+b'

et là je ne vois pas comment conclure
car pour moi il faut que a=a' et b=b' ...


Pour le groupe dérivé, j'ai calculé [g,h]=g^-1h^-1gh avec g=ax+b et h=a'x+b' .

[Ben314]

Un conseil : essaye d'apprendre à "rédiger correctement", ça t'aidera à comprendre où tu en est...

Calcul du centre Z(A) :
On cherche les éléments g=ax+b de A tels que, pour tout X=a'x+b' de A, on ait gX=Xg

Cela signifie que, dans ta "formule" ab'+b=a'b+b', tu cherche a et b de façon à ce que cette formule soit valable pour tout a' et b'.

La réponse n'est donc surement pas "a=a' et b=b'" qui, vu le contexte, n'a absolument aucun sens (on veut un truc vrai pour tout a' et b' et tu conclue avec un truc qui dépend de a' !!!!!)

Pour le groupe dérivé, O.K. perso, je calcule plutôt gg'g^-1g'^-1.
De toute façon, ça ne change pas la suite consistant à déterminer le groupe engendré par ces éléments là.

[louls]

ce n'est pas plutot l'inverse on a ab'+b=a'b+b' pour tout a,b

dans ce cas, si je prend a=1, on a b'+b=a'b+b' pour tout b
d'où a'=1
et de meme si je prends b=0 on a ab'=b' pour tout a d'où b'=0

est ce que c'est comme ca qu'il faut procéder?

[louls]

nn désolé lorsque j'ai mon a'=1 alors b'=1 et alors mon Z(A) = {x+1} ??

[girdav]

Ton dernier résultat ne peut être vrai car le centre contient au minimum l'identité.

[Ben314]

ce n'est pas plutot l'inverse on a ab'+b=a'b+b' pour tout a,b

ben, tout dépend si tu "cherche g tel que pour tout X gX=Xg" ou bien si tu "cherche X tel que pour tout g gX=Xg"...