Vecteurs aléatoires et indépendance

[lisonn]

Bonjour,

J'aurais plusieurs questions concernant l'indépendance de variables et vecteurs aléatoires.

1) Si (Xn)n est une suite de v.a indépendantes alors est-ce juste de dire que (X1,X2,..X_(n-1)) est indépendant de Xn?
J'ai essayé de le prouver mais je ne suis pas sûre que ce soit juste :

Soit une suite de v.a.r indépendantes. On note . Calculons avec et . Alors ce qui prouve que et sont indépendantes.
Est ce qu'on peut généraliser un peu, en disant que si et sont de vecteurs aléatoires dont les composantes sont des (en supposant de plus qu'ils n'ont aucune composante en commun) alors ils sont indépendants?

2) Si j'ai une v.a constante, est-elle indépendantes de n'importe quelle autre v.a? vecteur aléatoire?

3) Si et sont deux vecteurs aléatoires aléatoires indépendants (pas forcément de même dimension), cela implique t-il que les toutes les composantes de Y soient indépendantes de toutes celles de Z?

[girdav]

Bonjour,
pour la question 1 ça marche mais en fait un borélien de n'est pas nécessairement un produit cartésien de boréliens de . On peut s'en sortir en utilisant le fait que les pavés mesurables engendrent la tribu borélienne.

[lisonn]

Merci pour ta réponse girdav. Pour ce qui concerne un borélien de R^n-1, je ne vois pas trop où tu veux en venir....Je suis d'accord pour dire que les pavés mesurables engendrent la tribu borélienne mais qu'est ce que ça changerait à la démonstration?

[girdav]

Par exemple, la boule unité de pour la norme euclidienne est un borélien de mais elle ne peut s'écrire comme produit cartésien de deux ensemble donc encore moins de deux boréliens.
Mais on peut montrer que est un -système qui engendre la tribu . Après, on peut utiliser le théorème de Dynkin, en profitant de la bonne compatibilité entre la notion d'indépendance et de -système.

[MathMoiCa]

Salut,

Bonjour,

J'aurais plusieurs questions concernant l'indépendance de variables et vecteurs aléatoires.

1) Si (Xn)n est une suite de v.a indépendantes alors est-ce juste de dire que (X1,X2,..X_(n-1)) est indépendant de Xn?
J'ai essayé de le prouver mais je ne suis pas sûre que ce soit juste :

Soit une suite de v.a.r indépendantes. On note . Calculons avec et . Alors ce qui prouve que et sont indépendantes.
Est ce qu'on peut généraliser un peu, en disant que si et sont de vecteurs aléatoires dont les composantes sont des (en supposant de plus qu'ils n'ont aucune composante en commun) alors ils sont indépendants?

Voui on peut généraliser.

2) Si j'ai une v.a constante, est-elle indépendantes de n'importe quelle autre v.a? vecteur aléatoire?

Vi et vi. Que ce soit une variable ou un vecteur aléatoire, c'est assez similaire.

3) Si et sont deux vecteurs aléatoires aléatoires indépendants (pas forcément de même dimension), cela implique t-il que les toutes les composantes de Y soient indépendantes de toutes celles de Z?

Ca, je suis pas sûre, mais je dirais oui.


M.

[girdav]

Pour la trois je pense que oui. On suppose que et . On se donne , et . On a