Calcul d'une somme

[xPsychoseN]

Bonjour tout le monde.
J'ai un petit problème concernant un calcul de limite... Je vous donne l'énoncé : Soit f une fonction periodique, de periode 1, avec est un rationnel. Identifier la limite des moyennes :



Merci de bien vouloir m'aider un petit peu car je n'y arrive vraiment pas du tout.
Cordialement.
Marine

[Ben314]

Salut,
Vu que alpha est rationnel, tu aurait peut-être intérêt à écrire alpha=p/q avec p,q entiers.
ensuite, pour k entier quelconque, si on effectue la division euclidienne de k par q : k=aq+r, que peut tu dire de f(t+k alpha) ?

[xPsychoseN]

Je trouve (je ne sais pas si c'est juste) : f(t + k ) = f(t + r.p/q). Je me suis servie du fait que f est 1-periodique.
Et donc quand on prend la limite, f(t + r.p/q) est une constante qui ne dépend pas de k, par conséquent on peut la sortie, et le résultat final de la limite ainsi que de la somme c'est : f(t + r.p/q).
Est ce que mon raisonnement est bon ou pas ?

[Ben314]

Je trouve (je ne sais pas si c'est juste) : f(t + k ) = f(t + r.p/q). Je me suis servie du fait que f est 1-periodique.
Et donc quand on prend la limite, f(t + r.p/q) est une constante qui ne dépend pas de k, par conséquent on peut la sortie, et le résultat final de la limite ainsi que de la somme c'est : f(t + r.p/q).
Est ce que mon raisonnement est bon ou pas ?

Ben non, c'est pas trop bon du fait que, lorsque on écrit k=aq+r, ben évidement ça signifie que q et r dépendent de k (on peut, pour être sûr de se rappeller de cette dépendance mettre des indices q"indice"k et r"indice"k.)
donc tu peut pas "sortir" le f(t + r.p/q). Une autre façon de voir que, si tu le sort de la somme ça veut plus rien dire du tout, c'est que, dans le cas où le f(t + r.p/q) est en dehors de la somme, ben je vois franchement pas qui peut bien être le 'r'...

Une fois constaté que f(t + k ) = f(t + r.p/q) lorsque k=aq+r, il faut voir que cela signifie que, dans ta somme, il y a plein de termes qui sont égaux (par exemple f(t + 5 )=f(t + (q+5) )=f(t + (2q+5) )=... )
et ça serait pas con de les regrouper ensemble pour pouvoir utiliser la "super méga astuce" consistant à dire que, si on fait la somme de m termes tous égaux à X, ben la somme fait m.X

[xPsychoseN]

D'accord... Je vais essayer de voir tout ça... :doh:
Merci beaucoup pour cette explication très claire !