Somme et produit dans Z/nZ

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cendrillon
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somme et produit dans Z/nZ

par cendrillon » 20 Oct 2010, 20:49

Bonjour,
voilà un exercice que je n'arrive pas à résoudre :
"Trouver deux entiers m, n tels que

0<=m <=100 , 0<= n <=100 ,

m + n congru à 7 (mod 101) , m × n congru à 69 (mod 101) . "
Merci pour vos réponses (avec explications si possible) :we:



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Ben314
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par Ben314 » 20 Oct 2010, 20:53

Salut,
Si je t'écrit X²-SX+P=0, ça te rappelle pas quelque chose ?
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

cendrillon
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par cendrillon » 20 Oct 2010, 20:54

Si, un polynome du second degré, par contre je vois pas le rapport ???

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Ben314
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par Ben314 » 20 Oct 2010, 20:55

S=somme, P=produit...
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cendrillon
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par cendrillon » 20 Oct 2010, 20:57

Oué mais je vois pas comment j'arriverais à sortir mes "m et n" ...

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Ben314
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par Ben314 » 20 Oct 2010, 20:59

En fait, dans n'importe quel corps K (commutatif), chercher des éléments x et y de somme S et de produit P revient à résoudre l'équation X²-SX+P=0 (x est une des solutions, y est l'autre).

Bon, si ça te dit rien, tu peut t'en sortir "à la main" : (toutes les égalités sont des congruences modulo 101):
Comme n+m=7 , on a m=7-n et l'équation mn=69 s'écrit (7-n)n=69, c'est à dire n²-7n-69=0.
Tu dit que c'est le début d'une identité remarquable, etc etc etc
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cendrillon
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par cendrillon » 20 Oct 2010, 21:43

Le problème c'est que quand je fais le "calcul à la main" je trouve des n mais qui ne sont pas des entiers !!!
Et je n'arrive pas à voir le début d'une identité remarquable dans ce que tu as écrit...

Nightmare
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par Nightmare » 21 Oct 2010, 00:50

Salut !

Si je puis me permettre de prendre la suite de ce qu'à fait Ben, il ne s'agit pas ici de résoudre une équation du second degré dans N (donc encore moins dans R) mais dans Z/101Z. Quand on résout une équation du second degré dans N, la méthode du discriminant utilise la notion de racine carrée. Dans Z/101Z qui est un corps (101 étant premier), on a aussi une notion de racine carrée : Une racine carrée d'une nombre (ou plutôt d'une classe) n dans Z/101Z est un nombre m tel que m²=n. Autrement dit, en terme d'entiers, m est une racine carrée de n si m² et n ont le même reste dans la division par 101.

A partir de cette définition, on donne un sens à la méthode du discriminant, que te propose de retrouver Ben en te parlant d'identité remarquable. En effet, pour retrouver les racines d'un polynôme du second degré dans R, on l'écrit sous la forme (x+...)²-cste (peu importe le signe de cste). Ensuite on factorise par l'identité remarquable a²-b²=(a-b)(a+b), vraie dans tout corps. Pour cela, il faut donc trouver b tel que b²=cste donc il s'agit bien ici de trouver une racine carrée de cste, qui est un élément du corps de base.

Une fois trouvée cette racine carrée, on factorise, et on utilise le fait que dans un corps, où il y a en particulier intégrité, le produit de deux facteurs est nul seulement si l'un des deux l'est.

En résumé, on fait la même chose que dans R, en donnant à la racine carrée sa définition dans tout corps.

A toi de faire les calculs.

Edit : J'ai oublié de parler de ce qui apparaît en gras. J'insiste donc sur le fait qu'il peut y avoir, en fait comme dans R, plusieurs racine carrée. On obtient toutes les solutions en appliquant les formules du discriminant avec toutes les racines carrées.

arnaud32
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par arnaud32 » 21 Oct 2010, 09:36

ce que tu voudrais faire c'est x²+ax = (x+a/2)² - (a/2)²
mais ce que tu notes a/2 est a*inv(2); avec 2*inv(2)=1 [101].
il te faut donc trouver inv(2) dans Z/101Z pour pouvoir continuer.

cendrillon
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par cendrillon » 21 Oct 2010, 11:46

merci nightmare
est ce que vous pourriez avoir l'amabilité de répondre au problème en m'expliquant chaque étape, pour que je puisse voir la manière de faire?
je vous en remercie!

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Ben314
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par Ben314 » 21 Oct 2010, 12:57

Bon, on en était à :
n²-7.n+69=0 (toujours modulo 101)
Evidement, il faut dire que n²+2.a.n, c'est le début de l'identité remarquable de (n+a)^2.
Le problème est qu'il semble à première vue que 7 n'est pas de la forme 2.a avec a entier.
En fait, 7 est forcément un 2.a car 2 est premier avec 101 donc 2 est inversible modulo 101 et cela signifie que l'on peut "diviser par deux" modulo 101.
Pour ce faire, on peu bien sûr calculer l'inverse de 2 modulo 101 (c'est à dire chercher u et v tels que 2u=1+101v) qui est 51, mais on peut aussi plus simplement dire que, modulo 101, on a 7=101+7=108=2*54.
On peut donc réécrire n²-7n+69=0 sous la forme n²-2.54.n+69=0 puis (n-54)²-54²+69=0, c'est à dire (n-54)²-2847=0 qui équivaut à (n-54)²-19=0 ou à (n-54)²=19.
Arrivé à ce stade, si on était par exemple dans R, ben on écrirait 19=racine(19)² pour avoir un truc de la forme a²-b².
Ici, ben il faut évidement faire la même chose, c'est a dire chercher s'il existe un nombre d tel que d²=19 (modulo 101) pour continuer. Il y a toute une théorie concernant ce type d'équations, mais tu ne l'as sans doute pas vue donc tu sort un tableur, dans la première ligne tu met x=0,1,2,...100 et dans la seconde tu lui demande de calculer x² modulo 101. Tu doit trouver que 19=25²=76² (et constater que 76=-25 !!!) ce qui te permet de finir...

Remarque : tout cela va dans le sens de ce qui me parait important dans le supérieur : de savoir qu'une équation du second degrés dans R, ça se résous grâce à Delta=b²-4*a*c..., ça ne te servira quasiment à rien si tu ne connait pas la preuve de ce résultat car c'est de cette preuve que tu va pouvoir déduire si ces formules sont encore valables (ou ne le sont plus) dans le cas des nombres complexe ou dans le cas des congruences modulo 101 ou dans le cas des matrices, etc.
Ici, dans le cas des congruences modulo 101, tout le début de la preuve est totalement identique au cas des réels (preuve vue au Lycée en première). la différence commence à apparaitre lorsque l'on a dans R les trois cas Delta0 qui, dans R servent à savoir combien Delta admet de racines carrées (aucune, une, deux).
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

 

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