par Ben314 » 21 Oct 2010, 12:57
Bon, on en était à :
n²-7.n+69=0 (toujours modulo 101)
Evidement, il faut dire que n²+2.a.n, c'est le début de l'identité remarquable de (n+a)^2.
Le problème est qu'il semble à première vue que 7 n'est pas de la forme 2.a avec a entier.
En fait, 7 est forcément un 2.a car 2 est premier avec 101 donc 2 est inversible modulo 101 et cela signifie que l'on peut "diviser par deux" modulo 101.
Pour ce faire, on peu bien sûr calculer l'inverse de 2 modulo 101 (c'est à dire chercher u et v tels que 2u=1+101v) qui est 51, mais on peut aussi plus simplement dire que, modulo 101, on a 7=101+7=108=2*54.
On peut donc réécrire n²-7n+69=0 sous la forme n²-2.54.n+69=0 puis (n-54)²-54²+69=0, c'est à dire (n-54)²-2847=0 qui équivaut à (n-54)²-19=0 ou à (n-54)²=19.
Arrivé à ce stade, si on était par exemple dans R, ben on écrirait 19=racine(19)² pour avoir un truc de la forme a²-b².
Ici, ben il faut évidement faire la même chose, c'est a dire chercher s'il existe un nombre d tel que d²=19 (modulo 101) pour continuer. Il y a toute une théorie concernant ce type d'équations, mais tu ne l'as sans doute pas vue donc tu sort un tableur, dans la première ligne tu met x=0,1,2,...100 et dans la seconde tu lui demande de calculer x² modulo 101. Tu doit trouver que 19=25²=76² (et constater que 76=-25 !!!) ce qui te permet de finir...
Remarque : tout cela va dans le sens de ce qui me parait important dans le supérieur : de savoir qu'une équation du second degrés dans R, ça se résous grâce à Delta=b²-4*a*c..., ça ne te servira quasiment à rien si tu ne connait pas la preuve de ce résultat car c'est de cette preuve que tu va pouvoir déduire si ces formules sont encore valables (ou ne le sont plus) dans le cas des nombres complexe ou dans le cas des congruences modulo 101 ou dans le cas des matrices, etc.
Ici, dans le cas des congruences modulo 101, tout le début de la preuve est totalement identique au cas des réels (preuve vue au Lycée en première). la différence commence à apparaitre lorsque l'on a dans R les trois cas Delta0 qui, dans R servent à savoir combien Delta admet de racines carrées (aucune, une, deux).
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius