Montrer que toute partie finie est minorée et majorée

par **SHBNS17800** » 20 Oct 2010, 18:39

Bonsoir à tous et à toutes:
j'essaye de démontrer que tout partie finie est majorée et minoré

X et un ensemble fini {x1,x2,...,xn) soit xn le plus grand élément de X. Supposons que X ne soit pas majoré. Dns ce cas, il n'existe pas d'élément de R plus grand que xn et donc xn est le plus grand élément de R (R est ordonné). Or, R ne possède pas de plus grand élément : il tend vers l'infini. X est donc, en réalité, majoré
Raisonnement analogue pour montrer qu'il est minoré.

Est-ce que quelqu'un peut me dire si ma démonstration colle bien, mes erreurs, si l'énoncé sous-entend que X est un ensemble de R...
Si pouviez m'aider ce serait sympa.

par **Ben314** » 20 Oct 2010, 18:47

Salut,
En ce qui me concerne, je trouve ta preuve trés "concon".
Dés la première ligne, tu écrit "soit xn le plus grand élément de X" sans le début d'une justification comme quoi un tel élément existe alors que, si on considère qu'il y a quelque chose à "prouver" concernant ton "théorème", ben c'est là que cela réside.
En effet, dés que tu sait que X admet un plus grand élément, c'est fini, vu que ce plus grand élément est évidement un majorant de X !!!!

par **SHBNS17800** » 20 Oct 2010, 18:55

et comment on démontre qu'il y a un plus grand élément?

par **Ben314** » 20 Oct 2010, 19:02

A mon sens, deux méthodes :
1) on affirme que c'est évident (dans un ensemble totalement ordonné, toute partie finie non vide admet un plus grand élément) : perso, je me gènerais pas pour l'écrire...
2) Si tu veut absolument une preuve carrée-carrée, fait une récurrence sur le nombre d'éléments.

par **ffpower** » 20 Oct 2010, 19:02

Une reccurence, ça m'a l'air pas mal.. ( edit : doublé

)

par **Ben314** » 20 Oct 2010, 19:04

ffpower a écrit:Une reccurence, ça m'a l'air pas mal.. ( edit : doublé )

OUI, mais j'avais écrit une grosse connerie (j'avais pas mis "finie non vide" au début...)

par **SHBNS17800** » 20 Oct 2010, 19:10

okay merci, je vais essayer ce que vous m'avez conseillé

par **SHBNS17800** » 20 Oct 2010, 19:22

récurrence :

initialisation : E1={x1} admet un maximum, c'est x1
hérédité : on suppose que Ek={x1,x2,...,xk} et on veut en déduire que Ek+1={x1,x2,...,xk,xk+1} aussi.
Ek+1=EkU{xk+1}.
J'ai une question à partir de là : est-ce qu'on peut dire que si deux ensembles on un plus grand grand élément chacun (A et B) alors leur union admet un plus grand élément, c'est-à-dire
le plus grand élément de {A,B}?

par **ffpower** » 20 Oct 2010, 19:32

Je pense que tu peux répondre toi même à cette question :
-Que signifie le fait que A ait un plus grand élément? Que signifie le fait que B ait un plus grand élément?

par **SHBNS17800** » 20 Oct 2010, 19:35

la réponse est en effet évidente. On en déduit donc que X admet un maximum. Ce maximum majore tout X. et voilà.
Okay, merci à tous pour votre aide.

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