Montrer qu'un ensemble est non vide

[SHBNS17800]

Bonsoir à tous et à toutes.
soit G un sous groupe de (R;+) tel que G différent de {0}
comment montrer que G inter R+* est un ensemble non-vide.
ce serait sympa si quelqu'un pouvait m'expliquer comment il fait.

[Ben314]

Rappel :
Par définition, dire que G est un sous groupe de R+ signifie que :
1) 0 est dans G
2) Pour tout x,x' de G , x+x' est aussi dans G.
3) Pour tout x de G, -x est aussi dans G.

Avec ça, tu ne vois pas comment montrer que, si G est différent de {0} alors il contient forcément un réel >0 ?

[SHBNS17800]

mais l'ensemble vide est bien dans (R,+). G peut donc bien être l'ensemble vide. G est différent de {0} mais je croyais que ça voulait dire seulement que G n'est pas l'ensemble 0 . Mais l'ensemble vide n'est pas l'ensemble de 0. Il y a sûrement quelque chose que je n'ai pas compris.

[Ben314]

Visiblement, ce que tu n'as pas bien compris, c'est que, vu le point 1) donné dans mon précédent post, l'ensemeble vide n'est pas un sous groupe de R.
Le plus petit sous groupe que l'on puisse imaginer c'est le singleton {0} (i.e l'ensemble formé d'un unique élément 0 ) et cet ensemble n'est pas vide du tout.
Ton hypothèse "G différent de {0}" signifie donc que, dans G, il y a au moins un élément x autre que 0.

[SHBNS17800]

a d'accord, j'ai compris. Merci beaucoup