V.a gaussienne et convergence

par **Cam12** » 19 Oct 2010, 21:31

Bonsoir, un exo classique :
Soient

des v.a indépendantes de loi gaussienne oùX_i suit une loi normale :

On veut étudier la convergence en loi de

J'ai simplement fait la somme des espérances et la somme des variances et je me retrouve avec

J'imagine qu'il y a mieux à dire.....

par **Sylviel** » 19 Oct 2010, 22:18

Une somme de gaussienne est une gaussienne. Met tout sur le même dénominateur et essaie de simplifier la somme si y'a moyen...

par **arnaud32** » 19 Oct 2010, 22:24

j'ai peur que la limite de ta moyenne ne diverge ...

par **Sylviel** » 19 Oct 2010, 22:26

Arnaud : sans hypothèses supplémentaires sur les moyennes et les écart types on ne peux rien dire de la convergence :zen:

par **Cam12** » 20 Oct 2010, 10:04

Mettre tout sur le même dénominateur, je veux bien mais ca me donne quelque chose qui ne se simplifie pas.....
la moyenne vaut

mais ça ne m'avance pas vraiment :triste:

par **arnaud32** » 20 Oct 2010, 10:12

Sylvie a raison, sans autre hypotheses tu ne peux pas dire grand chose.
Par exemple
si m_i = 0 pour tout i, ca converge vers 0
si m_i=m non nul pour tout i alors tu as

qui diverge.

par **Cam12** » 20 Oct 2010, 10:19

Ok, merci....je vois. Mais je reste quand même convaincue qu'il existe une solution à cet exercice, je l'ai trouvé dans quasiment tous les cours de probas niveau M1/prépa agreg.....malheureusement je n'ai pas la correction.

par **arnaud32** » 20 Oct 2010, 10:23

es tu sur de l'enonce?

par **Cam12** » 20 Oct 2010, 10:42

hmmmm, désolée! Il s'agit de var centrée réduites.....autant pour moi!

Du coup la moyenne tend vers 0. Par contre pour la variance, j'ai

qui doit se simplifier mais comment.....
Pour établir la convergence en loi, est-ce correct d'étudier seulement la convergence simple des 2 paramètres de ma gaussienne?

par **arnaud32** » 20 Oct 2010, 10:48

pour calculer la somme, tu peux utiliser (n+1)²=n²+2n+1 et sommersur n des deux cotes et regarder ce que ca fait.

pour la convergence en loi, quelle en est la definition?

par **Cam12** » 20 Oct 2010, 11:02

pour la variance, j'ai

, je ne me souviens plus de la somme des i^2...mais je sais que c'est quelque chose équivalent à n^3 en l 'infini, au final j'ai donc ma variance qui équivaut à 1. Ma gaussienne serait donc centrée, réduite.

Pour la définition de la convergence en loi, justement je n'en ai aucune à part celle avec les espérances(on peut intervertir espérance et limite).
Dans le cas de cet exo, je vosi bien que la loi sera gaussienne et je ne vois pas comment on pourrait faire autrement pour trouver les paramètres qu'en étudiant la convergence simple mais vu que c'est nouveau, tout ça ne me parait pas évident.

par **arnaud32** » 20 Oct 2010, 11:52

une suite de va X_i converge en loi vers X, si la suite des fonctions de repartion F_i des X_i converge vers la fonction de repartition de X F , en tout point de continuite de F.

par **arnaud32** » 20 Oct 2010, 12:10

pardon tu utilises

...

par **arnaud32** » 20 Oct 2010, 12:34

desole pour le brouillon je ne suis pas un pro du TEX
la fin:

par **Cam12** » 20 Oct 2010, 12:48

Arnaud, je ne vois pas pourquoi on utilise (n+1)^3....? Je veux sommer (n-i)^2 pour i de 0 à n-1......

par **mathelot** » 20 Oct 2010, 12:51

Cam12 a écrit:j'ai qui doit se simplifier mais comment.....

par **arnaud32** » 20 Oct 2010, 12:51

c'est juste une methode pour trouver la somme des i² qui est ton second terme dan ta variance.

par **Cam12** » 20 Oct 2010, 17:02

Merci beaucoup à tous!

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