Exercice sur les nombres complexes

[Ohohxmeei]

L'énoncé :

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct ( O; u, v ), on considère l'application f du plan dans lui-même qui, à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' telle que z' = z² - 4z.

1° Soit A et B les points d'affixes : zA = 1 - i et zB = 3 + i.

a) Calculer les affixes des points A' et B', images des points A et B par f.

b) On suppose que deux points ont la même image par f.
Démontrer qu'ils sont confondus ou que l'un est l'image de l'autre par une symétrie centrale que l'on précisera.

2° Soit I le point d'affixe -3.

a) Démontrer que OMIM' est un parallélogramme si, et seulement si, z² - 3z + 3 = 0.

b) Résoudre l'équation z² - 3z + 3 = 0.

3° a) Exprimer ( z' + 4 ) en fonction de ( z - 2 ).
En déduire une relation entre | z' + 4 | et | z - 2 |, puis entre arg ( z' + 4 ) et arg ( z - 2 ).

b) On considère les points J et K d'affixes respectives zJ = 2 et zK = -4.
Démontrer que tous les points M du cercle (C), de centre J et de rayon 2, ont leur image M' sur un même cercle que l'on déterminera.

c) Soit E le point d'affixe zE = -4 - 3i.
Donner la forme trigonométrique de ( zE + 4 ) et, à l'aide du 3° a), démontrer qu'il existe deux points dont leur image par f est le point E.
Préciser sous forme algébrique l'affixe de ces deux points.

J'ai un gros problème, j'suis bloqué quasi partout ! Aidez-moi svp ^^'.

Voilà ce que j'ai fait :

1° a) J'ai trouvé z'A = -4 + 2i
z'B = -4 + 2i

b) Je comprend pas :/ lol.

2° a) J'ai dis que comme OMIM' est un parallélogramme, OM = M'I.

On a OM = | zM - zO | = | z |
et M'I = | zI - z' | = | -3 - z² + 4z | = | -z² + 4z - 3 |

OM = M'I donc | - z² + 4z - 3 | = | z |

Je pense qu'avec ça on peut retomber sur z² - 3z + 3 = 0 mais je ne vois pas comment faire.

b) Comme solutions j'ai trouvé (3/2) - (racine(3) * i) /2 et (3/2) + (racine(3) * i) /2.

3° a) J'suis pas sur du tout mais j'ai mis z' = z² - 4z
Donc z' + 4 = z² - 4z + 4 = z² - 4 ( z - 2 ) + 4

Après comme je suis pas sur de mon résultat j'ai pas continué.

b) Aucune idée.

c) J'ai trouvé ( zE + 4 ) = 3 ( cos pi + i sin pi ). Et la suite j'ai pas réussi.

Merci d'avance. :)
Je continue de chercher en attendant.

[annick]

Bonjour,
pour ta question 1)b), il me semble que si tu considère z1 et z2 tes deux points qui auront pour image z'1=z'2, si tu traduis tout ça dans z' = z² - 4z, que tu factorises comme il faut, tu trouveras ta réponse.

[annick]

je continue pour la question 2)a)
ton raisonnement est juste, mais comme on peut même raisonner en vecteurs (puisque non seulement les grandeurs sont égales, mais aussi les sens et directions), on peut enlever tes valeurs absolues et raisonner directement sur les complexes et non uniquement sur leurs modules. Alors en mettant tout du même côté de l'égalité tu retombes sur ce que l'on te demande de trouver.

Pour la 2)b), je suis d'accord avec toi.

[annick]

pour la 3)a), tu dis

3° a) J'suis pas sur du tout mais j'ai mis z' = z² - 4z
Donc z' + 4 = z² - 4z + 4 = z² - 4 ( z - 2 ) + 4

Tu y étais pourtant presque : z² - 4z + 4 ça ne te rappellerai pas une petite identité remarquable ?

[Ohohxmeei]

Ok merci beaucoup, j'vais essayer de continuer avec ce que vous m'avez dit ! ;D

[Ohohxmeei]

Bonjour,
pour ta question 1)b), il me semble que si tu considère z1 et z2 tes deux points qui auront pour image z'1=z'2, si tu traduis tout ça dans z' = z² - 4z, que tu factorises comme il faut, tu trouveras ta réponse.

J'comprend pas du tout en fait ! ^^'

z1 et z2

z'1 = z1² - 4 z1 et z'2 = z2² - 4 z2

z'1 = z'2 <=> z1² - 4z1 = z2² - 4 z2

J'sais pas si c'est ça qu'il faut faire et si c'est ça j'vois pas ce qu'il faut faire après lol.

[annick]

on continue :
tu es arrivé à z1² - 4z1 = z2² - 4 z2

donc z1²-z2²-4(z1-z2)=0

z1²-z2²=.........(identité remarquable)

puis factorisation évidente, puis solutions de l'équation

[Ohohxmeei]

Euh ...

ça me donne ( z1 - z2 ) ( z1 + z2 - 4 ) = 0
donc z1 - z2 = 0 donc z1 = z2
ou
z1 + z2 - 4 = 0 donc ???

Mais après j'vois par ou tu veux en venir pour "Démontrer qu'ils sont confondus ou que l'un est l'image de l'autre par une symétrie centrale que l'on précisera." dsl ^^'

[annick]

Si z1=z2 alors les deux points sont confondus (première partie de ta proposition)

Si z2=-z1+4, regarde en prenant des exemples sur un graphique, ça te fais une symétrie centrale de centre W(4,0), il me semble

[Ohohxmeei]

Okay merci j'essairais ;)

& pour la 3° a) j'suis toujours bloqué ^^'

z' + 4 = ( z - 2 )²
En déduire une relation entre | z' + 4 | et | z - 2 |, puis entre arg ( z' + 4 ) et arg ( z - 2 ).