Position relative d'une courbe a sa tangente

[e-Light]

Bonjour , alors voila , je bloque sur un question de mon exercice .
Il ne me reste plus que celle-ci a faire , mais je ne comprend pas comment la résoudre .

DOnc la question est prouvez que C est situé au dessus de sa tangente d au point d'abcisse 1 .
sur l'intervalle ]-1;+1]

Donc C est la courbe de la fonction f(x) = (1-x)/(x^3+1)
Sa dérivé est f'(x) = (2x^3-x²-1)/(x^3+1)²

Donc l'équation de la tangente d est y = (-x+1)/2

Je fais donc f(x) - ((-x+1)/2)


Et j'arrive donc a (x^4-x^3-x+1)/(2x^3+2)
Et c'est ici que je n'arrive pas a m'en sortir , je ne voit pas comment je peut étudier cette fraction, je ne comprend pas comment prouver que celle-ci est positive .

Merci pour votre aide .

[Ericovitchi]

Oui, il suffit de remarquer que et donc toujours positif au voisinage de ce point de tangence.

[e-Light]

Merci , Mais comment trouver vous que ce polynome est factorisable par (x-1)² .
Car j'ai essayer de la factoriser , mais je n'y était jamais arrivé .
Je voudrais bien comprendre la démarche car la réponse ne va pas me servir a grand chose pour plus tard ( hormis pour cette exo ) mais c'est la démarche qui pourra me servir .

[Ericovitchi]

En remarquant que 1 est solution et annule aussi la dérivée, on en déduit que l'on peut mettre (x-1)² en facteur
Après, soit on fait la division Euclidienne des 2 polynômes (si on sait faire) soit on pose x^4-x^3-x+1 = (x-1)²(x²+bx+c) on développe et on identifie avec le polynôme d'origine pour trouver b et c

[e-Light]

Merci pour ton aide .
Je viens de faire x^4-x^3-x+1 = (x-1)²(x²+bx+c) et je retombe bien sur ton résultat .
Merci bien .
Je vais pouvoir maintenant étudier cette fraction !