Parties discrètes

[Kurt Gödel]

Bonjour,

Est-ce que le complémentaire d'un partie discrète dans un evn est-il dense dans cet evn ? Et dans un espace métrique quelconque?

Autre question qui me tourmente : y'a-t-il deux fermés disjoints à distance nulle (dans R ou R2) ?

Merci.

[Ben314]

Salut,
Dans un E.V.N. c'est O.K. (et trés facile à démontrer)
Dans un espace métrique, il est clair que c'est faux : as-tu déja entendu parler de la "distance discrète" sur un ensemble X quelconque qui consiste à poser d(x,x')=0 si x=x' et =1 sinon ?
Si oui, tu devrait savoir que, pour cette distance, l'espace tout entier est discret.
Pour tes fermés de R², il en existe effectivement des disjoints qui sont à distance nulle l'un de l'autre, par exemple F1={(x,y) t.q. xy>=1} et F2={(x,y} t.q. y=0}
Par contre, si F1 (ou F2) est borné (donc compact) ben y'a plus de contre exemple...

[Kurt Gödel]

Bonjour,
je re-up ce topic car je n'ai toujours pas trouvé:

Salut,
Dans un E.V.N. c'est O.K. (et trés facile à démontrer)

Je n'ai pas réussi (surtout où est-ce qu'intervient le fait que ce soit un ev ?)...
Merci.

Autre chose : dans un espace topologique, y'a-t-il une différence entre partie discrète et partie dénombrable ? Pour moi ça n'a pas la même définition, mais ça renvoie à la même chose :help:

[Ben314]

Salut,
Ce qui "fait que ça marche" dans un espace vectoriel réel (de dimension non nulle), c'est le simple fait que, dans ce cas, une boule de rayon >0 n'est jamais réduite à un seul point : elle est même forcément infinie car, si e est un vecteur unitaire quelconque alors la boule de centre xo de rayon r>0 contient tout les xo+t.e (qui sont distincts) avec t dans [0,r[.
Par contre, dans un espace métrique X, il est possible qu'une boule de rayon >0 centré en xo ne contienne QUE xo (dans ce cas, trés naturellement, on dit que xo est "isolé" dans X)

Donc si une partie D d'un espace vectoriel réel (de dimension non nulle) est discrète alors, pour tout x de E on a :
- Soit x n'est pas dans D donc tout boule centrée en x contient au moins un point de E\D (complémentaire de D dans E), à savoir le point x !!!
- Soit x est dans D et, comme D est discret, il existe une boule de centre x et de rayon r telle que x soit le seul point de D dans cette boule donc c'est aussi le seul point de D dans toute boule de rayon <r or comme une boule n'est jamais réduite à un point, cela prouve que toute boule de rayon<r contient au moins un point de E\D.
Conclusion : E\D est dense.

Concernant
"Autre chose : dans un espace topologique, y'a-t-il une différence entre partie discrète et partie dénombrable ? Pour moi ça n'a pas la même définition, mais ça renvoie à la même chose"
Ben, oui, il y a une "légère" différence, plus précisément, les deux notions... n'ont absolument rien à voir l'une avec l'autre dans le cas des espaces topologiques quelconques :
Il existe des parties discrètes ET dénombrables.
Il existe des parties discrètes ET non dénombrables (*).
Il existe des parties non discrètes ET dénombrables.
Il existe des parties non discrètes ET non dénombrables.

Par contre, le (*) ne se produit que dans certains espaces topologiques "un peu gros"...

Là où je te comprend un peu, c'est que, "naïvement parlant", les deux disent que la partie n'est "pas trop importante" mais ce n'est pas la même notion de "importante".
C'est comme dans la "vie de tout les jours" : certains objets ne sont "pas trés importants" en volume, mais sont "trés important" en poids. Pour d'autres objets, c'est le contraire...

[Kurt Gödel]

Ok merci.

1. Il existe des parties discrètes ET dénombrables.
2. Il existe des parties discrètes ET non dénombrables (*).
3. Il existe des parties non discrètes ET dénombrables.
4. Il existe des parties non discrètes ET non dénombrables.

Peux-tu donner des ex pour les 2 et 3 ? Merci.

Du coup je me pose cette question : le complémentaire d'une partie dénombrable est-elle dense ?

[Ben314]

Pour le 2), je prend l'ensemble R et je le muni de la distance discrète d(x,x)=0 et d(x,y)=1 si xy. Pour cette distance, X=R est discret et évidement non dénombrable.
On peut ausi trouver des exemples dans des espaces vectoriels normés mais de dimension infinie.

Pour le 3) Je prend R muni de la topo usuelle et l'ensemble X formé de tout les 1/n avec n dans N* PLUS le point 0. L'ensemble X n'est pas discret (à cause de 0) mais est dénombrable.

Du coup je me pose cette question : le complémentaire d'une partie dénombrable est-elle dense ?

Dans un espace topologique quelconque, il n'y a aucune raison que ce soit vrai. Par exemple dans Q muni de ce que tu veut comme distance, la partie X=Q est dénombrable et il serait étonant que le complémentaire de X (qui est l'ensemble vide) soit dense !!!
Par contre, par exemple dans un espace vectoriel normé (de dimension non nulle), c'est forcément vrai (et cela vient du fait qu'une boule de rayon>0 contient toujours un nombre non dénombrable de points)

[Kurt Gödel]

Pour le 2), je prend l'ensemble R et je le muni de la distance discrète d(x,x)=0 et d(x,y)=1 si xy. Pour cette distance, X=R est discret et évidement non dénombrable.
On peut ausi trouver des exemples dans des espaces vectoriels normés mais de dimension infinie.

Un exemple STP ? :we:

Dans un espace topologique quelconque, il n'y a aucune raison que ce soit vrai. Par exemple dans Q muni de ce que tu veut comme distance, la partie X=Q est dénombrable et il serait étonant que le complémentaire de X (qui est l'ensemble vide) soit dense !!! Par contre, par exemple dans un espace vectoriel normé (de dimension non nulle), c'est forcément vrai (et cela vient du fait qu'une boule de rayon>0 contient toujours un nombre non dénombrable de points)

Je pourrais avoir un exemple dans un evn (R- ou C-evn bien sûr) ?

Merci beaucoup pour ta patience.

[Ben314]

Pour le 1), on prend par exemple pour E l'espace vectoriel des fonctions bornées de R dans R muni de la norme
||f||=sup{|f(x)|, x dans R}.
Pour chaque réel a, on note f_a la fonction de R dans R nulle partout sauf en a où f(a)=1.
La partie de E constituée de l'ensemble des fonctions f_a avec a dans R est clairement discrète et non dénombrable.

...Je pourrais avoir un exemple dans un evn (R- ou C-evn bien sûr) ?

Un exemple de quoi ?
Si c'est d'une partie dénombrable d'un e.v.n. dont le complémentaire n'est-elle dense, ben y'a pas d'exemple vu que c'est impossible.
Si tu veut la preuve, ben il suffit de recopier celle du cas "A partie discrète d'un e.v.n => A de complémentaire dense" en changant l'argument "une boule n'est jamais réduite à un point" en "une boule n'est jamais dénombrable".