[DM] Cette chère Bijection!

[The Nutshell]

Bonjour à toutes et à tous en cette belle soirée (Sous la pluie, évidemment...)

Voici un petit exercice me posant un problème pour la dernière question:

Soit la fonction f définie par :

f(x) =

a. En utilisant la calculatrice graphique, donner une représentation graphique de f sur l'intervalle [-10 ; 10].
Étudier ses limites en + et en -
Quelle conjecture peut-on faire sur le nombre des solutions de l'équation f(x) = 0 ?

Bon, par observation, on voit qu'il n'y a qu'une solution pour f(x) = 0, mais par "conjecturer", entend-t-on d'approfondir plus le raisonnement? Ou s'agit-il que d'une observation graphique?

Pour les limites, en factorisant par , nous arrivons à

f(x) =

Nous voyons que ce qu'il il a dans la parenthèse tend vers 1, que ce soir pour - ou pour +, et comme possède une "Puissance" impaire, nous avons donc les limites suivantes:

=

=

b. Montrer que cette équation a une solution comprise entre -2 et -1. En donner un encadrement à 0,001 près.

Sachant que cette courbe est strictement croissante, et continue (vu que nous avons un polynôme),





Ainsi, comme la courbe est croissante, elle coupe bien l'axe des abscisse entre -2 et -1. Pour l'encadrement, faut-il y aller avec la calculette? (Sinon, je risque de me mettre la WWF sur le dos, à bousiller des copies :lol2: ), par la calculette, j'ai l'encadrement suivant:



c. Démontrer que peut s'écrire sous la forme:



Bon, en développant, on arrive relativement facilement au résultat...

d. Démontrer alors que l'équation proposée a une unique solution dans

C'est le point sensible ... En calculant la dérivée, je tombe sur un Polynôme de degré 4 - impossible à résoudre en TS, parce que tout les membres n'ont pas un facteur commun - et j'ai du mal avec le polynôme de degré 3... Comment y arriver, et comment justifier tout cela?

Merci d'avance pour votre aide!

Mathématiquement Vôtre.

~The Nutshell.

[Dinozzo13]

Salut !
Ah mon avis, puisque quel que soit x, je te suggère d'utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour montrer que a une unique solution.
Sers-toi surtout de la question b.
Tu vois bien qu'à 1, f(1)0, montre que f est strictement croissante sur cette intervalle et voilà ^^

[Le Chaton]

Bonsoir ,
un produit de deux facteurs est nul bla bla bla
est ce que x²+1 peut être nul ? (dans R )
maintenant faut voir avec le polynome de degré 3

[The Nutshell]

Merci de vos réponses!

Si je comprend bien, au d), je dois arriver à:

Somme est une fonction définie sur l'intervalle , si et sont deux valeurs de cette intervalle et un réel tel que , alors il existe au moins un réel tel que .

Après avoir fait un tableau de signes (Que je ne sais pas faire avec les balises ici :lol2: ) on voit nettement que la courbe est strictement croissante sur l'intervalle donnée. En d'autre terme: l'équation proposée n'admet qu'une seule solution dans cette intervalle.

Pour ce qui est de l'unique solution dans , il faut appliquer le fait qu'un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des deux membres est nul.

Puisque, sur , , il faut chercher du coté de l'équation de degré 3.

Nouveau problème... J'ai trouvé sur Internet le Théorème de Cartan qui permettrai de résoudre des polynômes de degré 3 et 4, mais, le niveau est bien trop haut pour moi...

Est-il possible de factoriser ici? Et est-ce que ma démarche faite pour cette question est correcte et suffisante? Merci d'avance! : D

[Le Chaton]

On veut montrer que le polynôme de degrés 3 n'a qu'une seule solution ...
puisque l'autre polynôme n'a aucune solution ... ( dans R )
Etudie donc le polynôme de degrés 3 ... montre que ce polynôme est STRICTEMENT croissant sur R tout entier ... donc qu'il ne peux croiser l'axe des abscisse qu'une seule et unique fois ... (avec le théoreme des valeurs intermédiaires par exemple ) et après tu as fini ...

[The Nutshell]

Aloooors,

Si je résume: Sachant que est définie et continue sur tout entier car il s'agit d'une fonction polynôme.

Comme on a vu que , on doit absolument chercher du côté du Polynôme de degré 3.

Or, sur l'intervalle de départ, comme sur entier, il est strictement croissant (Je l'ai fait grâce aux limites). Si l'on veut encore plus approfondir, il faut alors calculer les images de et de avec ce polynôme de degré 3 pour démontrer avec le Théorème des valeurs intermédiaires que cette fonction n'admet qu'une seule et unique solution à l'équation .

Voilà, pour ce coup, je pense avoir démontré correctement, :lol2: !

[Le Chaton]

Bah je pense aussi , pour montrer que ton polynôme de degrés 3 est strictement croissant tu dérives non ? Tu vois que la dérivée est toujours positive donc que ta fonction est toujours croissante?
M'enfin tant que tu l'as démontré proprement :)
ça devrait être bon

[The Nutshell]

Weula la grosse boulette, la dérivée! :stupid: Avec elle, ce sera encore plus éloquent!

Merci encore à vous de m'avoir aidé!

Que la Force des Maths soit avec vous!

~Mathématiquement vôtre.

The Nutshell.

[Le Chaton]

PAs de soucis revient si tu as le moindre prob bye et bonne soirée