Un petit cadeau pour ma maitresse de CP-CE1 : probabilités.

[chocosbar]

Bonjour à tous.

Je me permettrai dans un premier temps une brève explication du contexte, pour vous permettre, si vous souhaitez m'aider, de mieux cibler mon besoin.
Je suis actuellement en M1 enseignement du premier degré.
Je viens d'effectuer mon premier stage d'observation en CP-CE1, et celui-ci c'est extrêmement bien passé. la maitre-formatrice était très gentille et très talentueuse.
Pour la remercier de cet excellent stage, j'aurais souhaiter, grâce à votre aide, lui offrir un petit cadeau :

La maitresse divise, à chaque fin de journée, la classe en quatre groupes (représentés par quatre couleurs, bleu, rouge, vert, noir), qu'elle fait tourner sur quatre ateliers différents, et ce, tout au long de la semaine, soit 4 jours (pas sur la même journée).

Un exemple de semaine serait donc (où L=Groupe bleu, Lundi ; où J = groupe vert, Jeudi ; etc...) :
atelier 1 LMJV
atelier 2 LMJV
atelier 3 LMJV
atelier 4 LMJV

Or, comme elle affiche (sous la forme montrée au dessus) les groupes au fur et à mesure de la semaine, avant de commencer les ateliers, au troisième jour, elle bloque devant le tableau, ne sachant plus où mettre le groupe bleu, car il est déjà passé dans cet atelier, "mais si je fais ça, alors je peux plus mettre le groupe rouge dans tel atelier", etc...

Alors, certe, elle pourrait, tout simplement, préparer le tableau des ateliers à l'avance, mais je pense que si c'était le cas, elle perdrait la démarche de le faire avec les enfants.


Aussi, enfin, voila ce que je souhaiterais faire : lui donner le nombre de possibilités de tableaux des ateliers de la semaine qui existe, pourquoi pas, aussi, la formule qui a permis de trouver le résultat (par pure curiosité), et, exercice facultatif ( :zen: ), la liste complète des possibilités (exercice très, très facultatif, mais qui me ferait très plaisir, et à elle aussi).

J'assure que, en échange de ces informations, je citerai la ou les personnes qui m'aurons aidé, auprès de cette généreuse maitresse qui m'aura beaucoup appris ces deux dernières semaines.

En vous remerciant d'avance.

Très cordialement.

[beagle]

Pour commencer il y a deux sortes-familles de carrés latins d'ordre 4:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Carr%C3%A9_latin

et après faut multiplier cela par les permutations possibles:
0 peut-ètre 4 couleurs,
alors choix 3 autres couleurs,
puis deux autres, reste un seul choix
4x3x2x1

faut attendre nos amis pros pour confirmation, car je m'embrouille régulièrement dans les permutations, arrangements, combinaisons and co.

Me semble qu'avec des chocolats j'aurais limité les risques de plantage.

[chocosbar]

Merci Beagle pour ta rapidité.

Hélas, il me semble que 4x3x2x1, ne serait les possibilités que pour la première journée. 24 possibilités pour la première journée, et les autres journées auraient un nombre décroissant de possibilités, mais je ne sais pas le calculer.

En tout cas merci quand même ! (surtout pour la suggestion des chocolats, je saurai vers quoi me tourner si ceci ne marche pas ^^).

[beagle]

non, les permutations, une permutation donnée remplit un carré latin entier = une semaine
si tu dis quelle couleur est zéro, quelle couleur est le 1,
dans le "tableau", le carré latin le carré entier, le tableau entier est défini.

Tu n'as que deux sortes de tableau possibles.

donc: 2x (4x3x2x1)

[beagle]

ok, tu as raison, c'est faux au niveau des tableaux possibles,
faut voir les permutations possibles rangées colonnes des deux familles de carrés latins,
il en lmanque un paquet,
donc c'est :
2xce qui manquex(4x3x2x1)

[beagle]

http://www.recreomath.qc.ca/dict_latin_carre.htm

il existerait donc 576 carrés latins d'ordre 4 ...
je n'ai plus le temps de voir la correspondance des deux refs avec les deux familles,...

[chocosbar]

Il me semblait bien...

Merci en tout cas de te casser la tête.

Personnellement, je sais absolument pas comment faire...

J'espère que quelqu'un viendra nous aider.

sinon, tant pis, ce sera des chocolats !

[beagle]

je bosse, mème si cela ne se voit pas,
mais comme obscessionnel, ton truc m'obsède,
donc:
2 familles tableaux
si on fait permutations de rangées ou colonnes factoriel 3
2xfactoriel 3
factoriel 4 des couleurs
2x[2(3x2x1)]x(4x3x2x1)redonnerait le 576,
mais c'est sans regarder ce qui se passe , je sais pas bosser sans exemple, donc à revoir ...

[beagle]

c'est crétin comme intuition le dernier calcul.
On reprend.

[beagle]

Si tu analyses la deuxième ref:
il y a 24 carrés avec 1234 sur première rangée.
factoriel 4 couleurs:4x3x2x1=24
24x24=576

si tu analyses les 24 carrés de base.
1234 en première rangée
et ensuite c'est classé:
4 carrés en colonne de'extrème gauche 1234 en première colonne
puis 4 carrés avec 1243 en première colonne
4 carrés avec1324
4 avec1342
4 avec 1423
4 avec 1432

faut repérer maintenant les deux types de famille.

[beagle]

vision rapide de la ref 2:
les 6 carrés de la troisième rangée dérivent du groupe cyclique Z/4z
les 6 carrés de rangées 1,2et 4 dérivent du groupe de Klein
6 du premier groupe, 3x6 du deuxième groupe:
4x6= les 24 carrés de base

[beagle]

http://www.recreomath.qc.ca/dict_normalise_carre_latin.htm
"Soit q le nombre de carrés latins normalisés d’ordre n, le nombre total de carrés latins est : q × n! × (n - 1)!. "

reste à savoir ce qu'est un carré latin normalisé.

[Sve@r]

Ca ressemble beaucoup au théorème des 4 couleurs. Il suffit de 4 couleurs pour colorier n'importe quel puzzle sans que 2 pièces qui se touchent aient une couleur identique. Le théorème est vrai, il a été démontré par un ordinateur dans les années 2000 mais malgré ça, si on part mal sur un puzzle on peut se retrouver coincé.

Cette question est plus du domaine "enigme" que lycée. Je la déplace...

[beagle]

je ne crois pas que cela soit le mème problème, car là il faut les 4 couleurs différentes sur colonnes et rangées.
non, c'est bien du carré latin.

mais conclusion de deux heures de dérives, il ne fallait pas passer par les deux groupes de départ que j'avais vu sur wiki,
car des permutations de colonnes , rangées dans groupe Z/4Z retombe sur groupe de Klein.
Le calcul basique des combinaisons ne me semble pas calqué, dérivé de cette classification,mais s'obtient autrement.

[Sve@r]

je ne crois pas que cela soit le mème problème, car là il faut les 4 couleurs différentes sur colonnes et rangées.
non, c'est bien du carré latin.

J'ai juste parlé de ressemblance. L'idée générale est la même quoi. Quel que soit le départ, c'est lui qui dirige tous les autres choix.

Voici comment je ferais
Je commencerais par la liste de toutes les permutations possibles à partir de 1234 (il n'y en a que 4! soit 24)
1234
1243
1324
1342
1423
1432
2134
2143
2314
2341
2413
2431
3124
3142
3214
3241
3412
3421
4123
4132
4213
4231
4312
4321

Puis dès que la maitresse choisit une disposition le lundi, elle biffe alors de la liste toutes les autres possibilités où le même chiffre se retrouve à la même place et elle regarde ce qui reste.
Exemple: elle choisit 1234
Elle supprimera donc partout où il y a un 1 en 1ère case, un 2 en seconde etc et elle biffera donc
1234
1243
1324
1342
1423
1432
2134
2314
2431
3124
3214
3241
4132
4213
4231

Et il ne restera que
2143
2341
2413
3142
3412
3421
4123
4312
4321

Le mardi, donc, elle choisit dans cette liste la disposition qu'elle veut. Par exemple 2143. Elle biffera donc toutes les possibilités qui ont un 2, un 1, un 4 et un 3 et il en reste que
3412
3421
4312
4321

Et pour le mercredi elle choisit dans ce qui reste ce qu'elle veut ce qui ne lui donnera qu'une possibilité finale pour le jeudi...

Déjà la méthode a l'avantage d'être directement accessible par n'importe qui sans devoir lui sortir toutes les formules combinatoires de la Terre. Et en plus, elle peut même faire ça avec ses enfants...

[beagle]

apparemment carré latin normalisé c'est 1234 en première rangée
et 1234 en première colonne.
il y en aurait 4 pour ordre 4.
donc q=4
donc 4x3!x4!

on se rapproche.
dans la ref n°2, les 4 carrés latins normalisés, c'étaient les 4 carrés de la colonne de gauche.
on y arrive, ça vient.

[beagle]

J'ai juste parlé de ressemblance. L'idée générale est la même quoi. Quel que soit le départ, c'est lui qui dirige tous les autres choix.

Voici comment je ferais
Je commencerais par la liste de toutes les permutations possibles à partir de 1234 (il n'y en a que 4! soit 24)
1234
1243
1324
1342
1423
1432
2134
2143
2314
2341
2413
2431
3124
3142
3214
3241
3412
3421
4123
4132
4213
4231
4312
4321

Puis dès que la maitresse choisit une disposition le lundi, elle biffe alors de la liste toutes les autres possibilités où le même chiffre se retrouve à la même place et elle regarde ce qui reste.
Exemple: elle choisit 1234
Elle supprimera donc partout où il y a un 1 en 1ère case, un 2 en seconde etc et elle biffera donc
1234
1243
1324
1342
1423
1432
2134
2314
2431
3124
3214
3241
4132
4213
4231

Et il ne restera que
2143
2341
2413
3142
3412
3421
4123
4312
4321

Le mardi, donc, elle choisit dans cette liste la disposition qu'elle veut. Par exemple 2143. Elle biffera donc toutes les possibilités qui ont un 2, un 1, un 4 et un 3 et il en reste que
3412
3421
4312
4321

Et pour le mercredi elle choisit dans ce qui reste ce qu'elle veut ce qui ne lui donnera qu'une possibilité finale pour le jeudi...

Déjà la méthode a l'avantage d'être directement accessible par n'importe qui sans devoir lui sortir toutes les formules combinatoires de la Terre. Et en plus, elle peut même faire ça avec ses enfants...

c'est ruseman, bon avec ton arbre, on arrive à qx(n-1)!xn!
au boulot sve@r!

[Sve@r]

c'est ruseman, bon avec ton arbre, on arrive à qx(n-1)!xn!
au boulot sve@r!

Ben soit j'ai raté un truc, soit tout est bon.
Il me semble que la position de départ importe peu. Donc la maitresse a le droit de placer le groupe 1 dans l'atelier 1, le groupe 2 dans l'atelier 2, le groupe 3 dans l'atelier 3 et le groupe 4 dans l'atelier 4.

A partir de là, il lui suffit de virer les possibilités où on retrouve un même groupe dans le même atelier. Et il lui reste les choix possibles du mardi.

Mais même si elle décide de commencer son lundi avec les ateliers 1, 2, 3 et 4 remplis avec les groupes 3, 4, 1 et 2 ben ça fonctionne aussi. Il lui suffit de barrer de la liste tous les nombres ayant un 3, un 4, un 1 et un 2 et elle se retrouve avec une liste de 9 possibilités pour le mardi et elle est certaine que quelle que soit la possibilité qu'elle choisit, elle pourra continuer mercredi et jeudi...

[Ben314]

Salut à tous.
Résumons un peu toutes ces reflexions... :
On cherche le nombre de tableau 4x4 :
.... act1 act2 act3 act4
Lu
Ma
Me
Je
remplis avec des couleurs B(leu) R(ouge) V(ert) N(oir) tel qu'il y ait une seule fois chaque couleur dans chaque ligne et dans chaque colonne.

En permutant les 4 colonnes "activités" (il y a 4!=24 façon de le faire) il y a une (et une seule) façon d'obtenir :
.... act? act? act? act?
Lu....B....R....V....N
Ma
Me
Je
En permutant les 3 lignes Mardi Mercredi Jeudi (il y a 3!=6 façon de le faire) il y a une (et une seule) façon d'obtenir :
.... act? act? act? act?
Lu....B....R....V....N
??....R
??....V....X
??....N....Y

Arrivé à ce point, la case "X" devant être différente de V et R, ne peut être que B ou N.
Dans le premier cas (X=B) , il est façile de voir que Y=V puis, de proche en proche, que la seule solution est :
BRVN
RNBV
VBNR
NVRB
Dans le second cas (X=N), on a Y=B ou Y=V.
Le cas Y=B conduit à l'unique solution :
BRVN
RVNB
VNBR
NBRV
Mais le cas Y=V conduit à deux solutions possibles :
BRVN....BRVN
RBNV....RBNV
VNBR....VNRB
NVRB....NVBR

Au total, il y a donc 4!x3!x4=576 solutions.

[beagle]

Bon, en fait j'ai cru pouvoir aller vite avec les carrés latins, et ensuite je me suis fourvoyé avec ces histoires de classe.

Mais Ben, dans ma ref n°3:
"Connaissant le nombre de carrés latins normalisés d’un ordre donné, on peut déterminer le nombre de carrés latins de cet ordre en appliquant la formule suivante. Soit q le nombre de carrés latins normalisés d’ordre n, le nombre total de carrés latins est : q × n! × (n - 1)!. Par exemple, comme il y a 56 carrés latins normalisés d’ordre 5, on compte 56 × 5! × 4! = 161 280 carrés latins d’ordre 5. Le carré latin normalisé appartient à la classe des récréations combinatoires."

q est calculable?
on calcule que q=56 pour l'ordre 5?