Fonction r(n) de Gauss

[Zweig]

Salut,

On appelle le nombre de décompositions de l'entier comme somme de carrés, combinaisons comprises.

Par exemple, . Donc .

Montrer la limite suivante :

Indication : On pourra interpréter géométriquement l"équation x^2 + y^2 = \sqrt{n}, n fixé puis localiser l'ensemble des points (x,y) tels que x^2 + y^2 = \sqrt{p}, p <= n. A partir de là, construire des carrés bien choisis puis à l'aide de considérations d'aires, montrer la double inégalité suivante :

pi*(\sqrt(n) - \sqrt{2})² <= r(1) + ... + r(n) <= pi*(\sqrt(n) + \sqrt{2})²

[benekire2]

Salut,

Malheureusement je connais , j'avais lu un article sur ce résultat. Pour moi c'est une des choses qui "m'étonnent" le plus, enfin je trouve ça vachement fort ....

[windows7]

Joli !
ps : pour ceux qui cherchent vraiment ne pas regarder l'indication sinon c'est "assez" immediat :)

[Anonyme]

Je ne vais pas regarde l'indice mais je veux savoir si c’est faisable en théorie par un lycéen.

[benekire2]

oui oui ça l'est .. ce qui rend le machin encore plus beau !

Sinon avec l'indication si tu sèche tu devrait t'en sortir sans trop l'encombres si tu fais un joli petit dessin :we:

Sinon sans l'indication je trouve ça hard :zen: Faudrait mettre une demi indication.

[BQss]

Ceux qui veulent rester absolument innocents dans la recherche d'une solution, ne lisez pas ce qui suit ! Pour les autres rassurez vous, je n'en dis pas assez !

Un ami a trouvé cet après-midi sans indication !

Je lui ai soumis le problème du forum (en même temps qu'à d'autres amis), chacun est parti dans son coin (j'en faisais autant), un peu après je revenais le voir pour lui exposer la vision géométrique que j'en avais eu (encore vague)- que le Pi avait probablement un rapport avec le nombre de triangles rectangles inscrits dans un cercle de diamètre racine(n), et qu'alors peut-être en l'infini la somme bla bla bla... - il prit note de cette information...

A peine avais-je eu le temps de me rafraichir les idées quelques minutes ( d'investiguer sur une formalisation éventuelle d'une sorte de "2Pi.r/2r" ), que le bougre :D revenait vers moi avec un magnifique dessin sous Excel, qui prenait la forme de carrés bien placés sur une matrice ! Il avait bien trouvé ! Et Force est de constater qu'en considérant quelque périmètre on y était pas encore ;).

Très esthétique ! Me voilà rentrer, pour formaliser une solution( je ne veux toujours pas regarder l'indication, qui je pense ne doit de toute façon pas être très loin de ce dont nous avons discuté avec mon ami l'artiste :) ).
J'espère n'en avoir pas trop dit en restant malgré tout assez évasif sur la nature du lien entre la somme et ce cercle.

C'est un très bel exercice et ces séries qui convergent vers des expressions de Pi sont de beaux objets :happy2: . Celle là particulièrement !