Équation différentielle à coefficients fixes

[MrPacane]

Bonjour,

Je dois trouver les 3 plus petites valeurs de qui satisfont cette l'équation différentielle :


,

Quelqu'un peut me donner une piste?

Merci! :happy2:

[mathelot]

oui,

c'est une équa diff à coefficients constant

elle a une équation du second degré caractéristique associée



la résoudre avec le

l'e.v des solutions s'exprime avec une base constituée
de deux exponentielles linéairement indépendantes

tester ensuite avec les conditions initiales qui correspondent,par linéarité,
à un autre sous e.v (intersection du noyau de deux formes)

[mathelot]

Avec ce que j'ai proposé, on s'achemine vers des calculs "bovins"
en résolvant de manière calculatoire.

autre méthode


Il serait intéressant ensuite de résoudre cet exercice sans donner la forme explicite des solutions,p-e par le calcul des variations
en trouvant une différentielle ad hoc ... Est-ce faisable ?

en résolvant en
et en minimisant G, par rapport à une quantité y, selon les deux hyperplans
y(0)=0 et y(6)=0 ??

ça serait beaucoup plus intéressant,il faudrait alors différentier G
relativement à la "variable" et appliquer , peut être, un théorème dû à Lagrange.

ici

[mathelot]

je dois aller tafer... @+

Dans une telle hypothèse (Lagrange), donner à un accroissement
(sous la forme h= fonctions quelconque de classe )


mais ce qui simplifie énormément, c'est que la dérivation est linéaire


et qu'en fait, on va appliquer
la différentielle dG de
au vecteur (h,h',h")

[MrPacane]

Posons x=0, y=0 :






Posons x=6, y=0 :


La seule solution que je trouve est ... Où est mon erreur? :hein:

[mathelot]

Bonjour,

on s'en sort par les calculs et la disjonction de cas:

i)
l'équa diff admet des solutions exponentielles "réelles"
et les conditions initiales font qu'il n'y a que la solution
triviale, ce que l'on cherche à éviter

ii) donc est minoré dans ce cas,

On se place a-priori dans le cas où l'espace vectoriel des solutions
n'est pas réduit à la fonction nulle
et les conditions initiales vont donner une condition avec et
comme est minorée, reste à citer les trois plus petites valeurs pour

[mathelot]

l'exo est donc résolu avec une méthode élémentaire

k=1;2;3

je vais essayer de regarder ce que ça donne avec une méthode moins élémentaire,ie, avec du théorème de Lagrange.
Ce que j'avais pas vû ce matin, c'est qu'en résolvant en , y est au dénominateur :hum:

[mathelot]

De toute façon, il te faut modifier l'énoncé de l'exercice:

"indiquer les 3 plus petites valeurs de telles que le système suivant admette une solution non triviale:....."

[MrPacane]

Posons x=0, y=0 :



Posons x=6, y=0 :


De là je trouve :


D'où vient l'exposant de ?

[Ben314]

Perso, à ta place, je n'écrirais pas tout les "détails" des calculs :
Lorsque (discriminant non nul), la solution générale de l'équation est () où et sont les deux racines (distinctes) de .
(le cas est à traiter à part).

Chercher une solution telle que , revient à chercher tels que :

C'est un système linéaire qui a comme unique solution (qui donne la solution triviale ) sauf lorsque son déterminant est nul, c'est à dire lorsque soit encore avec (car )
Il ne te reste qu'à regarder pour quelles valeurs de l'équation admet deux racines dont la différence est de la forme

Edit : Les trois plus petites valeurs que je trouve sont :


Edit 2 : je confirme ce que dit mathelot, il faut évidement rajouter "... solutions non triviales..." dans l'énoncé !

[mathelot]

devient

non ?

[MrPacane]

non ?

Très juste!

Merci beaucoup pour votre aide!