Raisonnement par récurrence

[mekodi]

Bonjour, je suis nouveau sur ce forum et je vous envoie ce message car je galère depuis longtemps sur un énoncé où je dois faire un raisonnement par récurrence.

L'énoncé est:

a^(n+1)-b^(n+1)=(a-b)(a^n+a^(n-1)*b+a^(n-2)*b²+....+a^(n-p)*b^p+...+b^n)

Si quelqu'un trouve la solution, ça serait vraiment sympa. :id: :id:
Merci d'avance

[Ericovitchi]

Oui et bien vérifies là pour n=0 ou 1 puis supposes la vraie pour n et vérifies qu'elle est encore vraie pour n+1.

L'astuce en formant c'est de l'écrire
et en te servant de la relation que tu as supposée vraie, tu vas facilement montrer que le membre de droite s'écrit (a-b) multiplié par quelque-chose.

[nodjim]

vérifies là pour n=0 ou 1 puis supposes vérifies encore

Pardon, mais pas de "s" pour l'impératif présent pour les verbes du 1er groupe.

[mekodi]

J'ai moyennement compris ta réponse.
La première partie pour l'initialisation ok, pas de prob, mais après pour la suite quand t'écris "L'astuce en formant a^{n+2}-b^{n+2} c'est de l'écrire
(a+b)(a^{n+1}-b^{n+1}) -ab (a^n-b^n)", c'est cette partie là que j'ai du mal à saisir

[Sylviel]

et bien redéveloppe la formule donnée par Erico et tut rouves ...

[mekodi]

Je suis désolé mais j'ai vraiment du mal à comprendre le raisonnement dans cet énoncé. Peut être que je l'ai mla compris. Rien que pour l'initialisation, je n'arrive pas à prouver qu'au rang n, la propriété est vraie

Piuvez-vous m'éclaircir davantage svp??

[Ben314]

Salut,
Bon, l'amorce, ça consiste à montrer que la formule

est vraie pour n=1, c'est à dire que et il me semble que c'est pas trop dur...

Ensuite, pour la récurrence, normalement, on suppose que P_n est vraie pour un certain n et on essaye de montrer que c'est vrai pour le suivant. Ici, il faudrait arriver à écrire (qui correspond à la proposition ) en fonction de (qui correspond à la proposition ). Sauf qu'on a beau regarder, ça parrait assez difficile.
Donc ce que propose Ericovichi, c'est de faire une récurrence double, c'est à dire de supposer que la formule est vrai pour un certain n, mais aussi qu'elle est vraie pour n-1. Dans ce cas, il faut arriver à écrire en fonction de mais aussi de .
Et là, c'est pas trop dur :


Attention tout de même que, comme on fait une récurrence double, il faut bien sûr vérifier l'amorce pour n=1 ET n=2 !