J'aimerais comprendre... bah tout ske j'ai pas compris donc donnez moi les réponses qu'en dernier recours
Donc, voici les énoncés des 2 exos a faire:
=> 112) Equations diophantiennes
info:
une equation diophantienne est une equation a plusieurs inconnues a coefficients entiers dont on cherche uniquement les solutions entieres.
x et y désignent des entiers relatifs
1. (E) est l'équation diophantienne 5x^2 + y^2 = 45
a) donner un encadrement de x et y
b) résoudre (E) en envisageant tous les cas possibles
2. (E') est l'équation diophantienne 2x^2 - y^2 = 5
En raisonnant modulo 5, démntrer que l'équation (E') n'a pas de solution
=> 118) Raisonner par contraposition
info:
pour établir qu'une propriété S entraine une propriété R (si S, alors R), il est parfois plus simple d'utiliser la démonstration équivalente :
si (non R), alors (non S)
Ce raisonnement est dit par contraposition
On note (E) l'ensemble des entiers naturels qui peuvent s'écrire sous la forme 9+a^2 où a est un entier naturel non nul; par exemple :
10= 9+ 1^2 ; 13 = 9+ 2^2, ...
On se propose dans cet exercice d'étudier l'existence d'éléments (E) qui sont des puissances de 2, 3 ou 5.
1. étude de l'équation d'inconnue a :
a^2 + 9 = 2n, où aN, nN et n>=4
a) montrer que si a existe, a est impair.
b) en raisonnant modulo 4, montrer que l'équation proposée n'a pas de solution
2. étude de l'équation d'inconnue a :
a^2+ 9 =3^n, où aN, nN et n>=3
a) montrer que si n>=3, 3^n est congru à 1 ou à 3 modulo 4
b) montrer que si a existe, il est pair et en déduire que nécessairement n est pair
c) on pose n= 2p, où p est un entier naturel, p>=2
Déduire d'une factorisation de 3^n - a^2 que l'équation proposée n'a pas de solutions
3. étude de l'équation d'inconnue a:
a^2 +9 = 5^n, où aN, nN et n>=2
a) en raisonnant modulo 3, montrer que l'équation est impossible qi n est impair
b) on pose n= 2p. en s'inspirant de 2.c), démontrer qu'il existe un unique entier naturel a tel que a^2+9 soit une puissance entière de 5
AIDE:
1.a) on doit démontrer que "si a est solution de (E), alors a est impair". Pour cela, raisonner par contraposition en démontrant que "si a est pair, alors a n'est pas solution de (E)"
Sur ce, je vais commencer a faire les exos de mon coté mais à vue d'oeil, je ne vois vraiment pas comment faire l'exercice 118 du tout!
Merci d'avance de votre aide
