Continuité

[Trident]

Bonjour, un petit exercice me pose problème.

Soit (E) l'équation : x + sin(x) = 1

1° En remarquant que la fonction sinus est bornée, démontrer que (E) n'admet pas de solution en dehors de [0 ; 2]

Je sais que

-1 < sin(x) < 1 (pas des inégalités strictes)

Ensuite je ne sais pas comment avancer.

[Nightmare]

Salut,

Tu n'as rien essayé de faire d'autre? Ce n'est pas vraiment compliqué. Si l'on prend x en dehors de [0;2], par exemple prenons x > 2, on a c'est à dire contradiction. Même chose si x < 0

[Trident]

Que faut-il dire donc ?

Il faut que je démontre de cette manière là en faite ?
Il faut dire :

Pour x > 2 , on a :

sin(x) + x > 1

Contradiction avec le fait que sin(x)+ x = 1

Pour x < 0, on a :

sin(x) + x < 0

Contradiction avec le fait que sin(x)+ x = 1

Et ça suffit ?

[meriem12]

pour tout reel x on a :
-1 x-1 donc pour que (e) admet une solution il faud que x-1<1<=> -1<1-x<1 <=> -2<-x<0 <=> 0tu doit travailler avec des inegalites pas strickt

[Trident]

Merci à vous deux, j'aurai du y penser tout seul :P

La deuxième question, c'est :

Déduisez en que (E) admet une unique solution réelle dont on donnera un encadrement d'amplitude 10^-3.

Je vais essayer de la faire, si je n'y arrive pas je vous posterai un message, si j'y arrive, je vous posterai aussi ma réponse ^^.

A tout de suite .

[Trident]

Je n'ai pas réussi à montrer l'unicité de la solution.

Mais sinon, j'ai grâce à la calculatrice établi que

0.510 < x < 0.511 (inégalités non strictes)

Vous trouvez ça aussi pour l'encadrement d'amplitude 10^-3 ?

[Nightmare]

Quel est le sens de variation de la fonction x->x+sin(x) sur [0;2] ?

[Trident]

Je vais essayer le théorème des valeurs intermédiaires pour l'unicité.

[Nightmare]

Le TVI te donnera l'existence, l'unicité sera assurée par la stricte monotonie de la fonction.

[Trident]

Ah j'avais pas vu la réponse Nightmare.

Sur [0;2], cette fonction là est croissante.

f :x ---> x + sin(x)

La dérivée rapidement est :

1 + cos (x) .

On a - 1 < cos(x) < 1

Donc 0 < cos(x)+ 1 < 2.

La dérivée est positive sur [0;2] donc la fonction est strictement croissante sur [0;2]

[Trident]

Donc elle est strictement monotone et strictement continue, il existe donc une UNIQUE solution.

Gracias Nightmare. Et pour l'encadrement d'amplitude 10^-3, tu trouves pareil ?