Congruence

[cricrilivia]

Bonjour

Voici mon exercice

1) Pour a=2 puis a=3 déterminer un entier naturel n non nul tel que a^n congru 1 modulo[7]

C'est facile j'ai fait déroulé 2^n et j'ai trouvé pour n=3 et pour n=6, j'ai fait de meme pour 3^n

J'ai essayé de le démontrer:
on cherche 2^n congru 1 modulo[7]
donc 2^n=7*q+1 or 2^n=2*k
donc 2*k=7*q+1
donc 2*k-7*q=1 théorème de Bézout donc 2*k et 7*q sont premiers entre eux
donc on trouve k=4 et q=1 couple de solutions
donc on peut ecrire 2(k-4)-7(q-1)=1
donc 2k-7q-15=1
donc k=(16+7q)/2 et q=(-16+2k)/7

mais comment faire le lien avec n maintenant ?

2) Montrer que a^6 congru 1 modulo[7]

Je pense qu'il faut faire une recurrence mais je n'y arrive pas.

Je sais que a^6 congru 1 modulo[7]
il faut prouver que (a+1)^6 congru 1 modulo[7]

Merci de m'aider

[annick]

Bonjour,

pour moi, de façon assez simple, je fais un tableau avec n=1,2,3,... et à la ligne du dessous, je cherche à quoi est congru 2^n quand n varie.
On te demande de trouver un entier naturel pour lequel 2^n congru à 1 modulo 7, donc c'est assez facile à trouver.

Tu fais de même pour 3^n

[cricrilivia]

oui ca je l'ai fait, mais je voulais savoir s'il y avait un moyen de demontrer la valeur de n

[annick]

Pour le moment, ce n'est pas la question posée.
En fait, quand on voit la suite, on se dit que pour l'instant on veut te faire démontrer qu'un nombre pair à la puissance 6 est congru à 1 modulo 7 et qu'un nombre impair à la puissance 6 aussi.

Donc pour la suite, je ne jouerai pas sur la récurrence, mais je verrai si (2k)^6 est congru à 1 modulo 7 et su (2k+1)^6 est congru à 1 modulo 7.( Toujours en utilisant des tableaux.
Si c'est le cas, alors tout nombre a^6 est congru à 1 modulo 7

[Olympus]

Salut !

Pour la deuxième question, il manque un détail quand même ... Est-ce que c'est des mêmes "a" ( 2 et 3 ) de la première question dont on parle, ou est-ce que c'est pour tout entier "a" ? Si c'est le dernier cas, alors c'est faux, il faut obligatoirement que "a" et 7 soient premiers entre eux, sinon il suffirait de prendre a=7 pour un contre-exemple .

[cricrilivia]

effectivement olympus a raison, c'est pour tout "a" non divisible par 7

[Olympus]

Donc tu démontres par récurrence que ( petit tip : sers-toi du binôme de Newton ou du triangle de Pascal ), puis tu déduis que si et sont premiers entre eux, alors .

Pour ta culture générale, cf. "le petit théorème de Fermat" sur le net .

[cricrilivia]

merci
je vais chercher