Suites

[latinosbr]

bonjours à tous alors voila n'ayant qu'un bac en économie je n'ai jamais vue les suites et séries .
nous somme entrain de voire comment savoir si une suite est convergente ou non .
si j'ai bien compris pour cela elle doit être borné et croissante ou décroissante .
mais concrètement comment savoir si une suite est borné et croissante .

pourriez vous svp me l'explique de façon simple avec un exemple lambda ?

[Ericovitchi]

Elle peut converger en étant ni croissante ni décroissante (en oscillant autour de sa limite comme un=sin n / n.

Sinon pour montrer qu'elle est croissante ou décroissante, il y a 2 bonnes méthodes standards. Soit on fait Un+1 - Un et on montre que c'est positif ou négatif soit on fait Un+1 / Un et on montre que c'est >1 ou <1

Entraînes toi sur des exemples, est-ce que Un=1/n ou Un=(n+1)/n ou Un = n / (1+n²) ou Un = 2^n/n! croit ou décroit ?

Pour montrer qu'elle est bornée, il n'y a qu'une façon, il faut la minorer ou la majorer par une autre suite ou par une constante.
par exemple le sin n / n du début c'est < 1/n et > - 1/n puisque le sin est toujours entre -1 et + 1. Et donc sin n / n ça tends vers .... ?

Après il y a les chouettes théorèmes : une suite croissante et majorée converge (ou une suite décroissante et minorée converge aussi).
et le théorème des gendarmes :
Si une suite est coinçée entre deux suites qui convergent vers la même limite, elle converge aussi vers cette limite (cf sin n / n)

[latinosbr]

merci pour ton aide alors si j'ai bien compris :
1/n
1/n+1 - n/n+1 = -1/n+1 donc décroit


(n+1)/n
(n+2)n/(n+1)(n+1)= 0/1 qui est <1 donc décroit



n/(1+n^2)
n+1/(1+(n+1)^2) - n/(1+n^2)=
n+1/n^2+2n+2 - n+2n+1/n^2 +1=
-2n-1/n^2+2n+2 donc décroit



2^n /n!
2^n+1/(n+1)!/2^n/n!=
2^n+1*n!/2^n*(n+1)!=
2^n+1/2^n donc >1 donc croit



pour le sinus sin(n) /n -)
1/1,1/2....
-1/,-1/2...
donc converge vers 0
mais comment faire pour savoire vers quoi sa converge sur des exemple moin voyant (cAd ss sinus ou cosinus ?

est ce que c'est juste ce que j'ai fait ?

[Sylviel]

tu as fait quelques erreur, en particulier parce que tu ne mets pas les parenthèses...
reprenons :
un=1/n

un+1-un=1/(n+1)-1/n=(n-n-1)/(n(n+1))=-1/(n(n+1))<0 dc un décroit.
un+1/un=(1/(n+1))/(1/n)=n/(n+1)<1 dc un décroit

d'ailleurs as-tu compris d'où venait ces deux règles ? (ce ne sont pas des recettes de cuisines, cela provient directement de un+1
dans des cas plus compliqué, comme sin(1/n) tu commences par trouver la limite de 1/n, puis tu dis que lim f(un)=f(lim un) car f est continue.

[latinosbr]

oki merci :-)
par contre pour le sin(1/n) je ne voie pas concraitement comment chercher sa limite ? :-/
(c'est bien lim-)0 car 1/0 = indét ?? )

[Ericovitchi]

le mieux est d'utiliser le fait que sinx < x et donc sin (1/n)<1/n

[Ericovitchi]

un lien vers des cours sur les suites assez bien faits.

[latinosbr]

merci beaucoup :-))