Dm Ts

par **lucas59179** » 06 Oct 2010, 12:39

Bonjour, je suis (encore) face à un mûr donc j'en viens à demander votre aide ... Cette semaine ( semaine dernière plus cette semaine si ) nous avons avancez dans les complexes et les limites sauf que je n'ai rien pigé :marteau: , que ce dm est pour vendredi et que demain c'est mon anniversaire donc je suis un peu ( beaucoup ) mal barré :cry:

Donc si une âme divine passerais par là voici mon dm :stupid_in :

Exercice 1:
Enoncé: Soit a est b deux réels . On considère la suite (u n ) définie par :
u0= a , u1= b et pour tout entier naturel n non nul; u(n+1)= ( un+u(n-1))/2 et la suite (vn)nN* définie par : pour tout entier naturel non nul n, vn= un-u(n-1).

Questions:
1) Démontrer que la suite (vn)nN* est géométrique et en déduire l'experession de vn en fonction de n.
2) Déterminer E ( avec un n au dessus et en dessous i=1) vi en fonction de n
3) En déduire un en fonction de n
4) Determiner lim un* lorsque n tend vers + l'infini

==> J'en viens jusqu'à déposé mon dm sur le net pour la simple et bonne raison que l'on vient de me rendre mon dernier dm que j'ai fait seul où j'ai eu 6,25/20 et vu que je n'ai pas pu tricher pour ce dm comme pour le précedent voila.
Merci de bien vouloir m'aider.

par **Rebelle_** » 06 Oct 2010, 12:47

Bonjour :)

Et si on appliquait le cours ? ;)
Comment montrer qu'une suite est arithmétique ?

par **lucas59179** » 06 Oct 2010, 12:52

Salut :)
En même temps faut le comprendre le cours ( avec speedy gonzales comme prof ... :DPAN )
Une suite est arithmétique si pour tout n , un+1= un+r ( merci internet.. ) ?

par **Rebelle_** » 06 Oct 2010, 12:56

Euh en effet oui mais là on doit montrer que la suite est géométrique, et non arithmétique ! :)

par **lucas59179** » 06 Oct 2010, 13:05

OHHH SHIT ! ( XD )

Il suffit en fait de prouver qu'il existe un réel k, tel que : Un+1 = Un x k ( Merci encore internet XD :p )

Mais le problème c'est que c'est " casse gueule " ces exercices , montrer qu'il éxiste un réel k ... certes mais à mes yeux ca reste encore vague/flou une fonction géométrique

par **Rebelle_** » 06 Oct 2010, 13:09

Ok on va y aller doucement ensemble d'accord ?

Donc, d'abord je regarde ce que me donne v_{n+1}.

J'ai v_{n+1} = u_{n+1} - u_n. Ici, je vais remplacer u_{n+1} par la valeur donnée dans l'énoncé. Le but est d'arriver à se retrouver à un moment avec l'expression u_n - u_{n-1} qui est en fait v_n, de sorte à finalement avoir un k tel que v_{n+1} = k*v_n ; ainsi k sera la raison de la suite.
Si ce n'est pas clair tout de suite ce n'est pas très grave, on va voir ça au fil des calculs.

Tu peux continuer à partir de v_{n+1} = u_{n+1} - u_n = ?

par **lucas59179** » 06 Oct 2010, 13:17

Alors j'ai essayé ( mal réussit mais bon ) j'ai v(n+1) = u(n+1) - u(n) ; v(n+1)= (u(n)+u(n-1))/2 - u(n) vu que v(n) = u(n) - u(n-1) => u(n) = - u(n-1) - v(n) d'où v(n+1) = (u(n)+(u(n-1))/2 - ( u (n-1) - v(n)) mais après cela ... je ne vois pas comment " aboutir " surtout que je suis certain que même là j'ai faux .. :/

par **Rebelle_** » 06 Oct 2010, 13:25

Hum, ça devient maladroit après ton "vu que".

Voilà ce que j'ai noté :

v_{n+1} = u_{n+1} - u_n

<=> v_{n+1} = (u_n + u_{n-1}) / 2 - u_n

On met au même dénominateur :

<=> v_{n+1} = (u_n + u_{n-1}) / 2 - (2*u_n / u_n)

On regroupe tout et on simplifie :

<=> v_{n+1} = (u_n + u_{n-1} - 2u_n) / 2 = - (u_n + u_{n-1}) / 2

Or, - (u_n + u_{n-1}) / 2 = (u_n - u_{n-1}) / 2, donc :

<=> v_{n+1} = ...

Continue :)

NB : quand tu rédiges, ne mets pas mes lignes intermédiaires ;) Là c'est juste pour comprendre, mais sinon tu laisses les équivalences.

par **lucas59179** » 06 Oct 2010, 13:33

Donc v(n+1) = (u(n) - u (n-1))/2 = (u(n) - u(n-1)) x 0.5 d'où k=0.5 ?

par **Rebelle_** » 06 Oct 2010, 13:35

Oui, enfin n'oublie pas d'écrire v_{n+1} = v_n / 2 donc (v_n) est une suite géométrique de raison 1/2. Et ce parce que u_n - u_{n-1} = v_n.

Tu comprends ? :)

Alors, si (v_n) est une suite géométrique dont on connait la raison, peux-tu me donner son terme général ?

par **lucas59179** » 06 Oct 2010, 13:38

Oo sincèrement là je ne peux même pas te donner une réponse je ne sais pas du tout ... terme général => ce qui est multiplié par k ... Oui mais je ne vois pas

par **Rebelle_** » 06 Oct 2010, 13:41

C'est dans le cours aussi :)

Si (v_n) est une suite géométrique de raison q et de premier terme v_0, alors on a v_n = v_0*(q)^n.
Ici on a q = 1/2 et v_0 = ...

par **lucas59179** » 06 Oct 2010, 13:46

Ils demandent ca dans la question ? Oo
Oui mais on à pas v(n) de façon " numérique " on l'a sous forme d'addition de suite et v(0) pareil sauf que là on ne l'à pas du tout => avec deux inconnue on ne peux pas avancer :/

par **Rebelle_** » 06 Oct 2010, 13:48

Il n'y a pas deux inconnues !

On connait q (on l'a calculé juste avant) et on sait trouver v_0 en le remplaçant dans v_n = u_n - u_{n-1}. =)

Là on cherche à "en déduire l'expression de (v_n) en fonction de n" (question 1).

Que vaut v_0 ici ?

par **lucas59179** » 06 Oct 2010, 13:50

v(0) = u(0) - u(0-1) = u(0) - u(-1) ?

par **Rebelle_** » 06 Oct 2010, 13:53

Attention !

Il faut faire attention ici. Quand je dis v_0 (assez maladroitement, en fait) c'est le premier terme de la suite (v_n), or celle-ci est définie sur N privé de 0, donc son premier terme, si on l'appelle v_1 (ce qu'il sera peut-être plus aisé de comprendre) sera donné par v_1 = u_1 - u_0 ; et comme on connait u_1 et u_0...

par **lucas59179** » 06 Oct 2010, 13:57

Hum ok :) donc => v(0) = u(1) - u(0) = b-a

par **Rebelle_** » 06 Oct 2010, 13:58

Yes, mais à la réflexion v_0 peut porter à confusion, puisque la suite n'est pas définie pour n = 0.

Enfin, on a v_n = (b-a)*(1/2)^n

Tout est ok jusque là ?

par **lucas59179** » 06 Oct 2010, 14:00

Oui tout est ok :)

par **Rebelle_** » 06 Oct 2010, 14:01

Parfait :)

Question 2 : il faut très simplement calculer la somme des termes de la suite. Là aussi tu as une belle formule dans ton cours qui te permet de le faire facilement ! Laquelle ?

Dm Ts

Dm Ts

Qui est en ligne