Démonstration parallèlogramme (vecteur)

[sarxos]

Bonjour tout le monde !

Voila je coince sur un exercice de démonstration, je vous le présente :


Soit ABCD un parallélogramme.
SOit les points P, Q, R et S définis par :

AP = 2AB
BQ = 2BC
CR = 2CD
DS = 2DA

Montrer que PQRS est un parallélogramme !

Voici ce que j'ai fait, mais je préviens c'est surement faux ^^

2AB +2BC +2CD +2DA = PQRS
AP - PB + BQ - QC + CD - RD + DS - SA = PQRS
AP + BP + DQ + CQ + CD + DR + DS + AS = PQRS
AP + BP + DQ + CQ + CR + DS + AS = PQRS

Et voila ce que j'ai fait. Si quelqu'un pouvait m'aiguiller :we:

[Mortelune]

Bonjour,

désolé mais 2AB +2BC +2CD +2DA = PQRS veut ou bien rien dire ou bien je ne comprends pas (fin je vois l'idée mais pas au niveau de l'égalité vectorielle ça donne plus le vecteur nul qu'un parallélogramme, et si c'est des distances c'est pire ^^).


Par contre tu peux essayer de montrer que :

PQRS est un parallélogramme si et seulement si

Avec la relation de Chasles ça doit se faire.

edit : rectification avec hypothèses moins fortes, merci eri

[Ericovitchi]

oui calcules tranquillement chaque vecteur en te ramenant à une base AB,AD

par exemple PQ=PB+BQ=BA+2BC=-AB+2AD
et SR = SD+DR=2AD+BA=-AB+2AD

donc PQ=SR, 2 cotés opposés égaux et parallèles, c'est un parallélogramme

[sarxos]

Merci de m'avoir répondu

je comprend plus ou moins ton exemple mais je ne comprend plus quand tu fais :

PQ=PB+BQ=BA+2BC=-AB+2AD
et SR = SD+DR=2AD+BA=-AB+2AD

je ne comprend pas pourquoi PB +BQ = BA +2BC et SD+DR=2AD+BA

Tu te fis au parallélogramme construit ?

Désolé je n'est jamais étais bon pour les vecteurs :cry: ^^

[Ericovitchi]

PB=BA (parce que AP = 2AB donc AB+BP=2AB donc BP=AB et PB=BA)
BQ=2BC (parce que c'est dans l'énoncé)

et donc PB +BQ = BA +2BC

SD=2AD (parce que l'énoncé dit DS = 2DA et c'est pareil)
DR=BA (parce que DR=CD et que CD = BA)

et donc SD+DR=2AD+BA