Opposés modulo p

[nodjim]

Bonjour à tous.
Je connais les inverses modulo n, je ne connais pas cette propriété:
Soit p, un nombre premier de forme 4K+1, tous les carrés des nombres compris entre 1 et (p-1)/2 ont un opposé modulo p, autrement dit on peut les additionner 2 à 2 pour faire un multiple de p.
Par exemple, pour 13, on prend les nombres de 1 à 6:
1²+5²=2*13
2²+3²=1*13
4²+6²=4*13

Comment cela se démontre t il ?

[Ben314]

Sela provient uniquement du fait que, si p est un nombre premier congru à 1 modulo 4, alors il existe un entier a tel que a² soit congru à -1 modulo p (c'est même une équivalence pour p différent de 2 et ce n'est pas super dur à démontrer quand on sait par quel bout s'y prendre).
Si tu prend un entier x entre 1 et (p-1)/2 alors, évidement, x²+(ax)²=0 modulo p (i.e. est divisible par p) vu que a²=-1 modulo p.
De plus, quitte à remplacer ax par ax+kp ou -ax+kp, tu peut te débrouiller pour que ax soit lui aussi entre 0 et (p-1)/2.

Dans ton exemple, p=13 et donc a=5 ou 8 (=-5) car 5²=25=-1 mod 13.
Donc, par exemple, si x=2 alors ax=10 et -ax=-10=3 mod 13 et cela explique que 2²+3² soit divisible par 13.

[nodjim]

D'accord, merci Ben.