Fonction exponentielles

[maths21]

Bonsoir,

J'ai un exercice a faire et je souhaiterais , s'il vous plait, que vous me confirmiez si mes réponses sont justes et les réponses aux questions que je n'ai pas su faire.

Soit la fonction numérique g de la variable réelle x définie sur R par
g(x)=e^x+x+1
1/a/Calculer
lim g
-;)
et
lim g
+;)
b/étudier les variations de la fonction g.
c/Montrer que l'équation g(x)= admet une solution unique alpha comprise entre -2 et -1.
Donner un encadrement de alpha à 10^-2 près.
2/étudier le signe de g(x) sur R

1/a/
lim g
-;)
On a :
lim (e^x+x+1)
x->-;)
d'où lim g=-;)
x->-;)
lim g
+;)
On a: lim (e^x+x+1)=+;)
x->+;)
d'où lim g=+;)
b/Les variations de g
Si x<1 alors g<0 et g est strictement croissante
Si x>1 alors g>0 et g est strictement croissante
g(1)=e^x+x+1=4,7.

c/2/je bloque

Merci d'avance :happy3:

[Ericovitchi]

"c/Montrer que l'équation g(x)= admet une solution unique alpha comprise entre -2 et -1."

il suffit de montrer que f(-2)<0 et f(-1)>0. Avec le théorème des valeurs intermédiaires, ça veut dire qu'il y a une racine entre les deux.
Après on peut réessayer avec -1,5 etc... jusqu'à cadrer un intervalle où se situe la racine avec plus de précisions (~-1.27846)

[maths21]

Pouvez vous confirmer?
Ici g'(x) vaut en effet ex+1 ; elle est toujours positive, vu que ex>0 x € R

[maths21]

Pouvez vous confirmer?
b/Ici g'(x) vaut en effet ex+1 ; elle est toujours positive, vu que ex>0 x € R
:hein:

[Ericovitchi]

oui exact, la dérivée est toujours positive

[maths21]

2/je sais pas étudier le signe de g(x) sur R :hein:

[maths21]

2/étudier le signe de g(x) sur R

Partie B
Soit la fonction numérique f définie sue[-3;+;)[ par:

f(x)=x.e^x/e^x+1

On désigne par (C) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé (unité graphique:4cm).

1/Calculer lim f.
+;)
2/a/Montrer que f'(x)=e^x.g(x)/(e^x+1)²

b/En déduire le signe f' sur [-3;+;)[.Dresser le tableau de variation de f.
c/Montrer que f(alpha)=alpha+1.En déduire un encadrement de f(alpha) à 10^-2 près.

Pouvez vous m'aider SVP?

[maths21]

Pouvez vous confirmer?

1/lim f
+;)
On a lim (x.e^x)/(e^x+1)=0,d'où lim f=0
x>+;) +;)

2/a/Montrer que f'(x)
f'(x)=e^x[(e^x+1)-(xe^x).e^x]/(e^x+1)²
f'(x)=e^x[(e^x+1)-xe^x.e^x]/(e^x+1)²
f'(x)=e^x[e^x+1+x.1]/(e^x+1)²
f'(x)=e^x[e^x+1+x]/(e^x+1)²=e^x.(e^x+x+1)/(e^x+1)²
b/f'(x)=e^x.(e^x+x+1)/(e^x+1)² et
(e^x+1)²>0 pour tout x de [-3,+;)[,f'(x) a même signe que donc f'(x)<0 et f est strictement croissante
Tableau de variation de f:
x -----(-3)-------0-------+;)
f'(x) - 0 +
f(x) -0,14 0 +;)

c/je bloque :hein:

[maths21]

pouvez vous m'aider svp?

[Ericovitchi]

tu sais que alpha annule la dérivée et donc que e^a+a+1 = 0

on te demande f(a)=a.e^a/(e^a+1)
remplaces grâce à ta première équation e^a par -a-1 et tu tomberas presque immédiatement sur le résultat demandé