Soit
Montrer que
Il s'agit donc de montrer que
En effet :
On munit
En effet :
Par conséquent :
Les deux autres assertions qui restent sont facile à verifier.
Est ce que vous pouvez m'aider à montrer que
Merci d'avance.
Banach
17 messages
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Banach
par barbu23 » 01 Oct 2010, 16:41
Bonjour,
Soit
l'espace vectoriel des suites convergentes dans 
.
Montrer que est un espace de Banach.
Il s'agit donc de montrer que est normé et complet :
est normé :
En effet :
On munit de : 
definie par :
_{n \geq 0} \in B $)
: _{n\geq 0}||_{\infty} = \displaystyle \sup_{n \geq 0} |x_{i}| $)
.
est une norme
En effet :
_{n \geq 0} , (y_{n})_{n \geq 0} \in B $)
:
_{n \geq 0} ||_{\infty} + || (y_{n})_{n \geq 0}||_{\infty} $)
Par conséquent :
_{n\geq 0} + (y_{n})_{n \geq 0}||_{\infty} \leq ||(x_{n})_{n\geq 0} ||_{\infty} + || (y_{n})_{n \geq 0}||_{\infty} $)
Les deux autres assertions qui restent sont facile à verifier.
Est ce que vous pouvez m'aider à montrer que est complet ?
Merci d'avance.
Soit
Montrer que
Il s'agit donc de montrer que
En effet :
On munit
En effet :
Par conséquent :
Les deux autres assertions qui restent sont facile à verifier.
Est ce que vous pouvez m'aider à montrer que
Merci d'avance.
par girdav » 01 Oct 2010, 17:24
Bonjour,
si on prend})_{n\in \mathbb{N}})
une suite de Cauchy pour la norme 
on doit montrer que la suite admet une limite et que cette limite est bien dans 
.
Vois-tu comment montrer que cette suite est convergente?
si on prend
Vois-tu comment montrer que cette suite est convergente?
par barbu23 » 01 Oct 2010, 18:26
Bonjour girdav : :happy3:
_{n \geq 0} $)
est une suite de suites n'est ce pas ?
Je n'arrive pas à montrer qu'elle est convergente. :triste:
Merci d'avance. :happy3:
Je n'arrive pas à montrer qu'elle est convergente. :triste:
Merci d'avance. :happy3:
par barbu23 » 01 Oct 2010, 18:54
Soit : _{n \geq 0} = (a_{k}^{n})_{n,k \geq 0} \in B $)
une suite de Cauchy de suites dans tel que 
: _{k \geq 0} $)
converge vers : 
.
Soit :
:
: _{n \geq 0} - (a^{m})_{m \geq 0}||_{\infty} = ||(a^{n} - a^{m})_{n \geq 0} ||_{\infty} < \epsilon $)
Il faut montrer que : converge vers quoi ? vers : _{n \geq 0} \in B $)
( intuitivement ) ?
Merci de votre aide.
Soit :
Il faut montrer que :
Merci de votre aide.
par girdav » 01 Oct 2010, 18:54
Oui, })_(n\geq 0})
est une suite de suites. Si on note })
le 
-ième terme de la suite })_{j\geq 0})
, pour 
fixé que peux tu dire de la suite })_{m\geq 0})
?
par barbu23 » 01 Oct 2010, 18:56
Je viens juste de repondre à ta question deux seconde avant l'envoi de ton dernier message, peux tu le lire ?
Merci d'avance. :happy3:
Merci d'avance. :happy3:
par girdav » 01 Oct 2010, 20:31
On voit que la suite réelle })_{n\geq 0})
est de Cauchy donc converge. On peut noter 
sa limite. On montre que la suite de réels _{k\geq 0})
est une suite convergente. Pour cela, on doit se servir du fait que les suites })
sont toutes convergentes, disons chacune vers })
. La suite })_{n\geq 0})
est convergente, disons vers 
.
Tu peux utiliser l'inégalité}|+|a_k^{(n)}-l^{(n)}|+|l^{n}-l|)
, prendre un epsilon strictement positif, etc...
Tu peux utiliser l'inégalité
par barbu23 » 01 Oct 2010, 23:43
Peux tu me dire pourquoi _{n \geq 0} $)
est de cauchy avec 
fixé, sachant que _{n,k \geq 0} $)
est par hypothèse, de Cauchy ?
Je voudrais aussi que tu m'ecrives la definition de de Cauchy, car j'ai un gros problème de notation des indices. Est ce que c'est correct comme ça , par exemple ? :
: _{n \geq n_{0}} - (a^{m})_{m \geq n_{0}}||_{\infty} = ||(a^{n} - a^{m})_{n,m \geq n_{0}} ||_{\infty} < \epsilon $)
Merci d'avance ? :happy3:
Je voudrais aussi que tu m'ecrives la definition de
Merci d'avance ? :happy3:
par YLS » 02 Oct 2010, 00:39
Soit 
une suite de Cauchy de 
.
Tu fixes
, alors comme la suite (de suites) 
est de Cauchy :
Le max des termes est majoré par
, donc en particulier le 
-ème terme, ie:
Autrement dit, pour tout
, la suite 
est de Cauchy dans 
, donc converge vers un réel 
(car est complet).
En français : pour chaque rang, la suite formée avec les -ème termes de chaque suite 
converge vers un -ème terme limite noté .
Représente toutes les suites dans un tableau infini, la ligne 
s'écrivant 
.
Quand tu lis le tableau horizontalement, tu regardes la limite
de chacune de tes suites convergentes . Mais quand tu lis le tableau verticalement, tu vois dans la première colonne la suite 
dont on a montré qu'elle convergeait vers 
précédemment, etc. Tu peux donc écrire la ligne "de rang 
" qui est en fait la construction (pas encore achevée) de ta suite-limite 
de la suite :
, où 
est la limite de la suite 
. Il reste à justifier la position de dans le tableau, autrement dit que la limite (quand 
) des limites respectives des suites est également la limite de , et pour cela tu utilises l'inégalité triangulaire proposée par girdav, en majorant chacun des 3 morceaux par 
(pourquoi?).
Enfin, n'oublies pas de montrer que est bien la limite de la suite de suites : puisque chaque terme de converge vers le terme de même rang de , tu as la convergence pour le plus grand élément, ie. 
.
une suite de Cauchy de .Tu fixes
, alors comme la suite (de suites) est de Cauchy :Le max des termes est majoré par
, donc en particulier le -ème terme, ie:Autrement dit, pour tout
, la suite est de Cauchy dans , donc converge vers un réel (car est complet).En français : pour chaque rang
, la suite formée avec les -ème termes de chaque suite converge vers un -ème terme limite noté .Représente toutes les suites
dans un tableau infini, la ligne s'écrivant .Quand tu lis le tableau horizontalement, tu regardes la limite
de chacune de tes suites convergentes . Mais quand tu lis le tableau verticalement, tu vois dans la première colonne la suite dont on a montré qu'elle convergeait vers précédemment, etc. Tu peux donc écrire la ligne "de rang " qui est en fait la construction (pas encore achevée) de ta suite-limite de la suite :, où est la limite de la suite . Il reste à justifier la position de dans le tableau, autrement dit que la limite (quand ) des limites respectives des suites est également la limite de , et pour cela tu utilises l'inégalité triangulaire proposée par girdav, en majorant chacun des 3 morceaux par (pourquoi?).Enfin, n'oublies pas de montrer que
est bien la limite de la suite de suites : puisque chaque terme de converge vers le terme de même rang de , tu as la convergence pour le plus grand élément, ie. .par barbu23 » 02 Oct 2010, 11:38
YLS
Peux tu m'expliquer pourquoi :} $)
admet une limite et tend vers 
limite de la suite :  $)
dont chaque composante 
est la limite de } $)
quant 
tend vers l'infini ?
Merci d'avance . :happy3:
Peux tu m'expliquer pourquoi :
Merci d'avance . :happy3:
par YLS » 02 Oct 2010, 13:49
Il faut prendre le problème dans l'autre sens :
j'ai posé comme étant la limite de la suite 
(et là, il faut justifier la convergence, ce que je n'ai pas fait dans mon post précédent); puis prouver que c'est aussi la limite de la suite 
(et ceci se fait avec l'inégalité triangulaire en 3 morceaux évoquée précédemment).
Pour la convergence de, donc :
j'avais écrit, dans mon précédent post, l'encadrement suivant, pour tout :
Comme chacune des suites
converge par hypothèse (on les a prises dans 
, ensembles des suites bornées convergentes), et j'avais appelé 
la limite de chacune, en faisant tendre vers 
, on obtient :
Ainsi, la suite de 
est de Cauchy, est complet, donc elle admet bien une limite dans .
j'ai posé
comme étant la limite de la suite (et là, il faut justifier la convergence, ce que je n'ai pas fait dans mon post précédent); puis prouver que c'est aussi la limite de la suite (et ceci se fait avec l'inégalité triangulaire en 3 morceaux évoquée précédemment).Pour la convergence de
, donc :j'avais écrit, dans mon précédent post, l'encadrement suivant, pour tout
:Comme chacune des suites
converge par hypothèse (on les a prises dans , ensembles des suites bornées convergentes), et j'avais appelé la limite de chacune, en faisant tendre vers , on obtient :Ainsi, la suite
de est de Cauchy, est complet, donc elle admet bien une limite dans .par barbu23 » 02 Oct 2010, 15:28
Voiçi où j'en suis maintenant :
Montrons finalement que :_{k \geq 0} $)
converge vers
En effet :
} | + | a_{k}^{(n)} - l^{(n)} | + |l^{(n)} - l | $)
} )_{n \geq 0} $)
converge vers 
pour 
fixé quant tend vers 
.
Par definition :
: } | \exists n_{2} \in \mathbb{N} \forall n \geq 0 $)
: } - l^{(n)} | \exists n_{3} \in \mathbb{N} \forall n \geq 0 $)
: } - l | 0 \ \forall n \geq 0 $)
: 
Après qu'est ce qu'on fait ? :happy3:
Merci d'avance. :happy3:
Montrons finalement que :
En effet :
Par definition :
Après qu'est ce qu'on fait ? :happy3:
Merci d'avance. :happy3:
par barbu23 » 02 Oct 2010, 15:32
YLS a écrit:
Enfin, n'oublies pas de montrer que
ça je ne sais pas le faire seul :help: :happy3:
MErci d'avance. :happy3:
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