Exos math spé avec deux inconnus.

[jojo130194]

Re bonjour ^^

J'ai encore besoin d'aide pour un exercice...
Cependant, cette fois, je n'ai aucune idée pour aucune question, alors j'aimerais bien un point de départ pour savoir où chercher / que chercher...
Evidemment, il y a bien une ou deux questions très faciles, pour lesquelles je n'ai pas besoin d'aide, mais pour le reste...
En résumé, j'aurais besoin d'aide pour les questions 1.a), 1.c), et 2.b).
Voici l'énoncé :

"a et b sont deux entiers naturels tels que : a² - 2b² = 1 ( 1 ).
1. Démontrer les propriétés suivantes :
a) Les entiers a et b sont premiers entre eux;
b) a est impair;
c) b est pair.
2.a) Déterminer, en s'aidant d'une calculatrice, quatre couples (a;b) d'entiers inférieurs à 100 vérifiant ( 1 ).
b) Démontrer que si (a;b) est un couple solution, le couple (A;B) avec :
A = 3a + 4b et B = 2a + 3b est encore solution.
c) Trouver, à l'aide de cette formule, un couple d'entiers supérieurs à 1000 vérifiant ( 1 )."

Pour la 1.a); je ne sais pas quoi faire... :triste:
Pour la 1.b), je dis que a² = 2b² + 1, donc a² est impair, et donc que a est impair ( car, si a² est pair, alors a est pair... ). Merci de me corriger en cas d'erreur. :happy2:
Pour la 1.c) 2b² = a² - 1 b² = , mais euh, ça ne me prouve pas que c'est un nombre pair...
Pour la 2.a), j'ai juste besoin de la calculatrice, c'est facile...
Pour la 2.b), je ne sais vraiment pas comment faire ?
Et enfin, pour la 3.c), je pense que ça ira tout seul aussi, grâce à la calculatrice et la formule ! :we:

Merci à tous ceux qui tenteront de m'aider

[jojo130194]

Personne ne peut m'aider ?

[Mortelune]

Bonjour, pour le 1)a) essaye d'utiliser l'identité de Bézout. et pour le c) que a est impair ^^
Pour le 2)b) peut être qu'en utilisant le théorème de Gauss on a un coup de pouce et il ne faut pas oublier de faire la réciproque.

[jojo130194]

Merci beaucoup pour ta réponse, cependant, je ne connais ni l'identité de Bézout, ne le théorème de Gauss... Que sont ces théorèmes ?

[Ericovitchi]

Alors on va faire sans.

a) Les entiers a et b sont premiers entre eux;
Bon je te fais le début :

Si a et b n'étaient pas premiers entre eux, ils auraient un diviseur commun d plus grand que 1. On pourrait écrire
a = d*p et b = d*q
du coup, a² - 2b² = 1 donnerait d²q² - 2d²p² = 1 donc 1 = d²(q²-2p²)
Ce qui voudrait dire que 1 a d² pour diviseur (d divise le membre de droite donc d divise le membre de gauche). Ce qui n'est pas possible.

a impair :
a² = 2b² + 1 montres que a² est donc impair et qu'il est impossible que a² soit impair si a est pair.
b pair : montres que si b était pair aussi, a et b ne seraient pas premiers entre eux, et donc b est forcément impair.

Pour 2-b
formes A²-2B² (avec A=3a+4b, B = 2a+3b) et montres que ça vaut a²-2b² et donc 1

[jojo130194]

Merci pour ta réponse très claire.

Pour la question 1.c) cependant, j'ai un petit problème...
Si b est pair, on a donc b = 2q
Et comme a est impair, on a donc a = 2p + 1
Mais alors, comment continuer ?
D'autant plus que l'on cherche b pair, et non b impair.

Sinon j'ai très bien compris pour les autres questions, merci beaucoup !

[jojo130194]

Je bloque vraiment pour cette question... :cry:

Merci de m'aider SVP... =/

[Ericovitchi]

Cette question là : "Trouver, à l'aide de cette formule, un couple d'entiers supérieurs à 1000 vérifiant ( 1 )." ?


tu prends un couple a,b qui vérifie, et tu appliques la transformation
A = 3a+4b et B = 2a+3b jusqu'a ce que A et B soient plus grands que 1000...

[jojo130194]

Oui merci :happy2:
Mais je parlais de la question 3.c), où il faut démontrer que b est pair...
Je n'ai toujours pas réussi... =/

[Ericovitchi]

ha 1-c) b est pair ?

on a vu avec a² = 2b² + 1 que a² et donc a était impair
si a est impair il peut s'écrire 2k+1 et on a (2k+1)²=2b²+1
d'où 2b²= (2k+1)²-1=2k(2k+2)=4k(k+1)
donc b²=2k(k+1) ce qui montre que b² est pair et donc b (car le carré d'un nombre impair est toujours impair aussi)