Recherche du terme d'un polynôme

[Alvarvs]

Bonjour,

L'énoncé que je suis amené à résoudre est le suivant:
"Un polynôme P(x) de degré 2005 à coefficients réels est tel que P(n)= 1/n pour tout entier n€{0,1,2,...,2004,2005}, que vaut P(2006)?"
Je ne vois pas comment débuter. Pourriez-vous me donner un indice?

Bien à vous.

[Doraki]

Il vaut combien P(0) ?

[Alvarvs]

P(0) vaut en principe 1, j'ai commis une erreur dans l'énoncé c'est P(n) = 1/(n+1).

[dibeteriou]

Il y a 2006 inconnues (au pif, les coefficients de ton polynôme) et 2006 équations. On devrait donc s'en sortir par de l'algèbre linéaire...

[Doraki]

Est-ce que tu connais une relation qui relie (n+1) termes consécutifs d'un polynôme de degré (n-1) ?

Vu qu' un tel polynôme est déterminé par n valeurs, il existe des coefficients non nuls tels que
pour tout polynôme P de degré (n-1),


Tu dois trouver quels sont ces coefficients et utiliser la relation obtenue avec n=2006 pour trouver P(2006)

[Alvarvs]

Je ne vois pas la relation en question.

Pour le moment j'ai introduit un polynôme Q(x) = (x+1)P(x)-1. Ce polynôme s'annule pour tout x€{0,1,...2005}. L'on peut l'écrire sous forme du produit de ses racines : Q(x)= kx.(x-1).(x-2). ... . (x-2005). P(2006) vaut donc (k.2006!+1)/2007. Cependant je ne vois pas comment déterminer le paramètre k -qui à mon sens n'est pas forcément 1-.

[Ben314]

Salut,
Si tu part comme ça (c'est moins théorique que ce que propose Doraki, mais ça marche trés bien quand même), le "détail" que tu as oublié, c'est que, lorsque tu pose Q(x) = (x+1)P(x)-1 , cela implique que Q(-1)=-1.
Cela te permet de déterminer la valeur de ton 'k' (qui, effectivement, n'est pas du tout égal à 1...)

[Doraki]

Regarde Q(-1)