Tangente a une fonction

[Anonyme]

un de mes amis m'affirme qu'il existe une fonction ne comportant pas de tangentes? est ce possible? merci

[mathador]

Salut
La première réponse (un peu bête, je l'admets!) est : oui, ça existe, puisqu'il suffit de prendre une fonction définie à partir d'un singleton.
Par exemple, l'identité restreinte à {0} : va dessiner une tangente à UN point !

La deuxième réponse est plus construite : oui, ça existe, puisque cela repose sur la dérivée (et donc la dérivabilité). Un autre exemple :
f de R dans R qui à x associe 1 si x est rationnel ; -1 si x est irrationnel. Elle n'est dérivable en aucun point, et n'admet aucune tangente (même si une représentation graphique semble montrer 2 droites parallèles, du fait que Q est dense dans R)

Donc ton ami a raison :id:

Amicalement

[serge75]

Sans vouloir trop jouer le chieur, c'est la courbe représentative de la fonction qui n'admet pas de tangente, pas la fonction. Un vocabulaire plus adéquat serait de dire que la fonction n'est pas dérivable.
Bref, évidemment que des fonctions non dérivables existent : valeur absolue de x non dérivable en 0 ; partie entière de x non dérivable aux points entiers.
Pour une fonction nulle part dérivable, l'exemple de mathador convient tout à fait, mais est elle discontinue en tout point.
Liouville le premier a au XIX siècle exhibé une fonction continue nulle part dérivable. Je ne l'ai malheureusement plus en tête ; c'est une fonction définie par une série, et c'est un problème 'classique' :hein: en MP* de montrer que ce monstre est continu (cv normale) mais nulle part dérivable.

[elladan]

J'ai eu un problème de ce genre et je ne sais pas trop si c'est la démarche historique (celle de Liouville) :
En fait, on prenait un réel quelconque et on trifouillait son développement décimal de telle manière que "vu de loin" ca soit toujours la fonction identité mais en fait à chaque fois on changeait les décimales à partir d'un certain rang de telle manière que deux images de deux réels suffisamment proches soient suffisamment proches.
Seulement, le bidouillage des décimales faisait qu'il était clairement visible que la fonction n'était jamais monotone (quelque soit l'intervalle qu'on prenne).
Et donc elle ne pouvait pas être dérivable.