[Probleme T.S] Nombres Complexes.

[The Nutshell]

Bonjour à tous!

Je suis un peu (voire même beaucoup) bloqué sur un problème traitant des complexes...
Je trouve des réponses, mais je doute qu'elles soient toutes correctes...

Voici donc l'énoncé (Et, en même temps, ce que j'ai trouvé):

Soit M, M' et M'' les points du plan complexe d'affixes respectives: z, z + i et iz.

1) a) Pour quel nombre complexe z a-t-on M' = 0, origine du repère?

Réponse trouvée: Soit z = x + iy. Sachant que l'affixe du point M' est égale à "z + i", nous avons donc:

z + i = 0

En remplaçant:

x + iy + i = 0 , Nous pouvons factoriser par i.

x + i (y + 1) = 0

Sachant qu'un nombre Complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles, nous avons :

x = 0 et y + 1 = 0, soit y = -1.

Le nombre complexe est donc égal à Z = 0 + i x (-1) , soit Z = -i.

Bon, il est vrai qu'il suffisait de regarder z + i = 0, le " - i " est donc vérifié je pense...

b) Pour quel nombre a-t-on M' = M" ?

Toujours en prenant exemple sur les affixes, nous avons:

z + i = iz

x + iy + i = i(x+iy)

x + iy + i = ix - y

x + iy +i -ix +y = 0

x + y + i (-x + y + 1) = 0

Même principe, la partie réelle et imaginaire doivent être nulles.

Nous avons donc un système d'équation:



Si nous multiplions par -1 la seconde expressions, nous avons donc:

x - y - 1 = 0

Ensuite, il faut soustraire la première équation à la seconde: (2)-(1)

x - y - 1 - (x + y) = 0

x - y - 1 - x - y = 0

- 2 y = 1

y =

En remplaçant y par dans la première équation:

x + = 0

x =

Voilà où, pour moi, cela se complique...

Soit Z différent de 0, -i et .

Prouver que les points O, M' et M" sont alignés si et seulement si est un nombre réél.

Là, je coince... j'ai beau remplacer z par "x + iy", j'arrive à chaque fois à une équation assez improbable. Et en plus, je ne suis suis vraiment pas sur qu'il faille à tout prix calculer ce nombre...

Cela repose-t-il sur les vecteurs? Ces trois points seraient alignés si et seulement si =

En remplaçant les points par leurs affixes, je suis arrivé à:

= - Z - i

Ce qui n'est pas très cohérent, et surtout, je ne vois pas de réels apparaître...

Voilà, si une personne pouvait m'aider, ce serait très sympa! :we:

Merci d'avance!

[Ericovitchi]

effectivement tu n'es pas toujours obligé de revenir au x+iy

z + i = iz c'est z(1-i)= -i donc z=-i/(1-i)=-i(1+i)/2 = 1/2-i/2 ce que tu as trouvé d'ailleurs


pour que 3 points d'affixe z1 z2, z3 soient alignés il faut que l'argument de (z3-z1) soit le même que l'argument de (z2-z1) ou encore puisque l'on sait que arg(z1/z2)=arg(z1)-arg(z2), ça s'écrit aussi arg (z3-z1)/(z2-z1) = 0

transposé avec z1=z, z2=z+i et z3=iz tu vas sûrement tomber sur la relation qu'ils demandent

[The Nutshell]

Le problème est que l'on a fait qu'entrevoir pour le moment les arguments...Mais les argumeents ne sont pas que pour les angles Orientés? A moins que l'on puisse aussi travailler avec les Modules, et ainsi obtenir la même relation?

[Mortelune]

Prouver que les points O, M'=z+i et M"=iz sont alignés si et seulement si est un nombre réél.

Le plan (O,i,j) est similaire au plan (O,x,y) déjà connu, la partie réelle d'un nombre représentant l'abscisse et la partie imaginaire l'ordonnée. On peut donc faire un parallèle avec les vecteurs colinéaires et ces 3 points complexes alignés. Mais le plus simple reste d'utiliser l'argument.

Mais on peut utiliser la colinéarité , avec k réel donc.
On en déduit la relation voulue en associant M' et M" au vecteur leur correspondant.

[The Nutshell]

Merci à vous deux! : D

Pour l'argument, après avoir regardé Wikipédia notamment, il est clair que les choses seraient plus simple... Mais nous n'avons aucune des propriétés énoncées :we: Alors, utilisons cette bonne vieille colinéarité! : D