Matrices nilpotentes sur un corps fini

[sept-épées]

Bonjour,

Si désigne le corps fini à q éléments, combien y a-t-il de matrices nilpotentes dans ?

Merci!

[tµtµ]

Salut,


tiens, je viens juste de le mettre sur un autre forum !!


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C'est q^(n²-n)

Y'a une 'stuce qui permet de le faire assez facilement.

Nil(n,q) le nombre cherché.

Plan :

- il y a au total Nil(n,q) × q^n (n+1)-uplet (M, v_1, ..., v_n) tel que M est nilpotente et v_{i+1} = M*v_i

- Chaque (v_1, ..., v_n) est de la forme (v_1, .., v_r, 0, ..0) avé les {v_1, .., v_r} linéairement indépendants (classique)

- A chaque {v_1, .., v_r} il y a donc Nil(n-r,q) × q^(r(n-r)) matrice M qui marchent

- Formule de récurrage et c'est fini.