par serge75 » 14 Avr 2006, 09:43
La relation d'équivalence est intimement attachée à la notion de partition.
Par contre, pour la relation d'ordre imaginons qu'on veuille procéder de la même manière en appelant classe de x l'ensemble des éléments y tels que x précède y pour cette relation. La simple analyse de la classe de 0 dans R pour la relation usuelle nous montre qu'on obtiendrait [0,+infini[, alors que la classe de 1 serait [1,+infini[ : ces ensembles sont distintcs et non d'intersection vide : l'ensemble des 'classes' ne constitue pas une partition.
On pourrait aussi imaginer la classe de x comme l'ensemble des y qui sont comparables à x, cad tels que x précède y ou y précède x. Dans le cas d'une relation d'ordre total, on obtiendrait une seule classe, l'ensemble entier, ce qui présente peu d'intérêt. Dans le cas d'un ordre partiel, regardons l'ensemble A des parties de {1,2}, muni de l'inclusion. La classe de {1} serait : {vide,{1},{1,2}} et celle de {2} serait {vide,{2},{1,2}} : là encore ces deux classes sont distinctes mais non disjointe : on ne constitue pas une partition.
Pour aller plus loin, je te soumets la notion suivante :
On appelle préordre toute relation p réflexive et transitive. On notera xpy pour dire que x est en relation avec y par p.
Si p est un préordre, on défini la relation d'équivalence R par : xRy lorsque (xpy et ypx). R est alors une relation d'équivalence (vérification immédiate), et on définit sur E/R la relation suivante : la classe de x (notée cl(x)) précède la classe cl(y) lorsque xpy. Montrer alors que cette définition est légitime, ou en d'autres termes qu'elle ne dépend pas du représentant choisi dans cl(x) et cl(y) : si cl(x)=cl(x') et cl(y)=cl(y'), alors il y a équivalence entre xpy et x'py'. Prouver alors que précède est une relation d'ordre sur E/R.
Commentaire :
Une relation d'équivalence sert à rendre égales des quatités qui ne le sont pas. Je m'explique : réflexivité, symétrie, transitivité sont des propriétés naturellement attachées à l'égalité. Toute relation vérifiant ces trois propriétés constitue une sorte d'égalité modulo un certain critère. Prenons la congruence modulo 3 dans Z : si je suis dans un problème d'arithmétique où il s'agit de déterminer un reste par la division par trois. Vis à vis de ce problème, 2 et 5 sont identiques, bien que non égaux. La congruence me permet de dire qu'ils sont égaux vis à vis de ce problème. Mais plus fort : là où je n'ai pas égalité, et où je remplace le mot égal par le mot congru, j'ai égalité des classes : en d'autres termes, la classe de 2 et la classe de 5 sont égales.
Pour l'exercice sur les préordre que je t'ai filé, que manque-t-il à un préordre pour être une relation d'ordre : l'antisymétrie. Le préordre autorise des éléments distincts à vérifier xpy et ypx. Regroupons de tels éléments dans une même classe, de sorte à les rendre 'égaux'. Ma relation p devient d'un coup antisymétrique et c'est une relation d'ordre. Sauf que ma relation p n'est plus définie sur l'ensemble E mais sur l'ensemble quotient E/R, et change du coup de nom (je l'ai appelée précède), mais j'ai réussi mon coup : en rendant égaux des éléments qui ne l'étaient pas, j'ai transformé mon préordre p en relation d'ordre, notée précède.
En espérant t'avoir éclairci les idées sur la finalité des reations d'équivalences.
N'hésite pas à me demander d'autres exemples de 'passages au quotients'.
Serge