Le cadenas et la boîte de biscuits

[New Kleth]

Je me suis récemment posé une question : "Si l'on disposait 9 biscuits dans une boîte à la disposition de quatre personnes, combien de situations pourrait-il y avoir une fois la boîte vide ?". J'en ai donc conclut que la valeur minimale de chaque inconnue pouvait être zéro, et la valeur maximale neuf. Alors ma question devient si A+B+C+D=9 combien de situations existent ? En comptant les permutations (0.0.0.9=9.0.0.0).
Je pense qu'il faut d'abord écrire les situations où la somme des inconnues est différente de neuf et faire le tri. Seulement, j'ai autre chose à faire que les écrire bêtement pour les "filtrer" ensuite pendant des jours.
Je sais donc que le nombre total de situations est donc égal à 5 puissance 4, ce qui nous donne un total de 625.
Comme sur un cadenas qui compterait quatre roulettes numérotées de 0 à 5. Je me doute qu'il y a derrière cela une histoire de factorielle mais sans plus de certitude.
J'ai, il y a quelques mois, "trouvé" une équation permettant de connaître par avance le résultat de la somme de n termes successif en progressant de un en un à partir de un. Par exemple si vous voulez savoir le résultat de la somme des chiffres de un à cinq (1+2+3+4+5), il vous suffit de prendre cinq et de l'additionner à son carré pour le diviser par deux : (5*5)+5/2 = (25+5)/2 = 30/2 = 15. Je ne pense pas que cela puisse servir en l'occurrence.

[Sve@r]

Je me suis récemment posé une question : "Si l'on disposait 9 biscuits dans une boîte à la disposition de quatre personnes, combien de situations pourrait-il y avoir une fois la boîte vide ?". J'en ai donc conclut que la valeur minimale de chaque inconnue pouvait être zéro, et la valeur maximale neuf. Alors ma question devient si A+B+C+D=9 combien de situations existent ? En comptant les permutations (0.0.0.9=9.0.0.0).
Je pense qu'il faut d'abord écrire les situations où la somme des inconnues est différente de neuf et faire le tri. Seulement, j'ai autre chose à faire que les écrire bêtement pour les "filtrer" ensuite pendant des jours.
Je sais donc que le nombre total de situations est donc égal à 5 puissance 4, ce qui nous donne un total de 625.
Comme sur un cadenas qui compterait quatre roulettes numérotées de 0 à 5. Je me doute qu'il y a derrière cela une histoire de factorielle mais sans plus de certitude.

Hum non. Un énumération de toutes les positions d'un cadenas ayant "m" molettes, chacune pouvant avoir c chiffres sera . La factorielle c'est pour les permutations et ensuite on décline dans les arrangements (choix avec ordre) ou combinaisons (choix sans ordre). Donc avec 5 possibilités pour chaque case sur un total de 4 cases t'as un compteur qui va de 0 0 0 0 à 4 4 4 4 soit effectivement 625 nombres possibles. D'ailleurs tu remarqueras que le nombre 4444 en base 5 vaut 624 en base 10 et le nombre suivant en base 5 sera 10000 qui vaut 625 en base 10...

J'ai, il y a quelques mois, "trouvé" une équation permettant de connaître par avance le résultat de la somme de n termes successif en progressant de un en un à partir de un. Par exemple si vous voulez savoir le résultat de la somme des chiffres de un à cinq (1+2+3+4+5), il vous suffit de prendre cinq et de l'additionner à son carré pour le diviser par deux : (5*5)+5/2 = (25+5)/2 = 30/2 = 15.

Oui. La somme des n premiers termes est n (n+1) / 2 ou, comme tu le dis, (n² + n) / 2.
Et dans l'espace 3D, cette somme devient n (n + 1) (n + 2) / 6. Et dans un espace 4D, cette somme devient n (n + 1) (n + 2) (n + 3) / 24. Et dans un espace dD cette somme devient n (n + 1) (n + 2) ... (n + d - 1) / d! (tu vois que la factorielle revient aussi là où on l'attend le moins)

Je ne pense pas que cela puisse servir en l'occurrence.

Ben que voudrais-tu savoir exactement ? Combien il y a pu avoir de biscuits par case ? Ben tu l'a dit. Si chaque case peut avoir de 0 à 9 biscuits, alors ça fait 10 possibilités par case soit 10000 possibilités au total...

[New Kleth]

Merci de ta réponse, ma présentation est brouillonne. J’ai voulu taper au plus vite mon message et de ce fait il manque de clarté et comporte une coquille. Cette fois l’énoncé sera le même avec quatre biscuits et trois personnes. Il y aura donc cinq puissance trois nombres de 0.0.0.0 à 4.4.4.4. Parmi ces cent vingt cinq nombres les quinze suivants m’intéressent :

0.0.4
0.4.0
4.0.0
0.1.3
0.3.1
1.0.3
1.3.0
3.0.1
3.1.0
0.2.2
2.0.2
2.2.0
1.1.2
1.2.1
2.1.1

Car à chaque fois A+B+C=4.

[boumba daboum]

Si tu as N biscuits pour P convives, l'approche est la suivante :

- Tu imagines que les N biscuits sont alignés
- Tu répartis (P-1) cloisons parmi tes N biscuits

(le convive 1 a ce qui est à gauche de la 1ere cloison, le suivant ce qui est entre les cloisons 1 et 2, et ainsi de suite, le convive P a ce qui se trouve à droite de la cloison P-1

Chaque répartition possible correspond à une unique combinaison des cloisons.

Le nombre de répartitions est le nombre de combinaisons de (P-1) objets parmi (P-1)+N :

Pour 4 biscuits et 3 convives :
Pour 9 biscuits et 4 convives :

C'est un le même problème classique que le nombre de glaces différentes composées de P boules avec N parfums.