Roc sur la géométrie

[Adrien_75]

bonjour de fait des exercice pour m'entrainer pour le bac mais je n'arrive pas à faire ceci:
Soit a, b, c et d des réels tels que (a, b, c) différent de (0, 0, 0).
Soit P le plan d'équation ax+by+cz+d=0.
On considère le point I de coordonnées (xi,yi,zi) et le vecteur(n) de coordonnées (a, b, c).
Le but de cette partie est de démontrer que la distance de I au plan P est égale à |axi+byi+czi+d|/V(a²+b²+c²) avec V la fonction racine.
1. Soit Delta la droite passant par I et orthogonale au plan P.
Déterminer, en fonction de a, b, c, xi,yiet zi un système d'équations paramétriques de delta.

2. On note H le point d'intersection de delta et P.
a) Justifier qu'il existe un réel k tel que vecteur(IH) =k *vecteur(n).
b) Déterminer l'expression de k en fonction de a, b, c, d,xi,yiet zi .
c) En déduire que IH = |axi+byi+czi+d|/V(a²+b²+c²)

pour la 1/ j'ai fait :

x=ak+xi
y=bk+yi
z=ck+zi
mais je n'arrive pas à faire le reste :(

merci d'avance
@+

[Adrien_75]

:hein: personne?

[Alpha]

Salut,

pour le 1) c'est bon, pour le 2) évidemment Delta étant orthogonale à P, le vecteur HI qui la dirige est normal à P, tout comme n, donc n et HI sont colinéaires (j'ai la flemme d'écrire des vecteurs, mais il va de soit que je désigne des vecteurs).

Ensuite, notons xH, yH, zH les coordonnées de H. Comme H appartient à Delta, on sait que xH = xi + ka , yH = yi + kb , zH = zi + kc, d'autre part H appartient au plan P, donc

axH + byH + czH + d = 0, en remplaçant xH, etc.. par ce qui se trouve plus haut, on trouve k = -(axi + byi + czi + d)/(a²+b²+c²),

Et donc la distance recherchée est

racine de ( (xH-xi)² + (yH-yi)² + (zH-zi)²) = racine (k²(a² +b² +c²) = |k| racine (a²+b²+c²)

et l'on obtient l'expression demandée en remplaçant k par la valeur qu'on a trouvé.

Cordialement, Alpha

[Adrien_75]

ok j'ai compris merci alpha :++: :+++: :king: :king2: :ptdr:

[Alpha]

Ravi que tu aies compris :happy3: (et merci pour tous ces jolis smileys)