Inégalité

[busard_des_roseaux]

Bonjour,

je suis en train de sécher sur un vieux pb proposé par
Zweig (ou Olympus?)

Soit un triangle ABC et ses trois mesures d'angles x,y,z

montrer



je veux bien une indication.. :hum:

[busard_des_roseaux]

up! .............................

[Olympus]

Salut !

J'avais posté la méthode en tant qu'exercice : http://maths-forum.com/showthread.php?t=107578 .

M'enfin, elle est un peu longue, mais a l'avantage d'être originale et très élémentaire .

[Olympus]

Sinon, si ma méthode ne t'intéresse pas, tu peux aussi y aller avec la méthode traditionnelle : la convexité .

Tu considères la fonction . Elle est concave sur , donc par l'inégalité de Jensen :



Et en multipliant le tout par 3 t'as le résultat .

[EDIT : désolé la deuxième partie est supprimée car fausse, la correction viendra]

[benekire2]

En ce qui me concerne c'était pour la première partie où je voyais pas du tout, comment montrer que cosa+cosb+cosccela dit ton exo m'avait fait plaisir :id:

[busard_des_roseaux]

Sinon, si ma méthode ne t'intéresse pas, tu peux aussi y aller avec la méthode traditionnelle : la convexité .

Tu considères la fonction . Elle est concave sur , donc par l'inégalité de Jensen :

Bonjour Olympus !

merci pour l'indication. Le procédé se généralise un tout petit peu:
toutes les fonctions, en particulier les lignes trigonométriques
cos,sin,tan,cotan,etc..
sont localement ,ie sur un tout petit intervalle I, concaves ou convexes,
leurs dérivées secondes ne s'annulant pas en général.
Ensuite , on met en bijection I avec via une fonction affine , ce qui ne change pas le signe de la dérivée seconde ou mieux via une autre fonction concve, la concavité
étant stable par composition..