Lieu Géométrique.

[Emel-ii-nee]

Bonjour à tous, j'ai un très gros problème avec un exercice de Math, et je bloque complètement...
Voici l'énoncé:


Soit f la fonction définie, pour tout réel x 1, par :
f(x) = x^3 / (x-1)²
Et C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal (O, i, j).
1°) Etudier les variations de la fonction f
2°) Déterminer des réels a, b, c et d tels que, pour tous réel x 1 :
f(x) = ax + b + [ (cx + d) / (x – 1)² ]
En déduire la position de la courbe C par rapport à la droite D d’équation y = x + 2.
3°) Déterminer l’abscisse du point J de la courbe C en lequel la tangente est parallèle à la droite D, puis une équation de cette tangente T.
4°) Tracer la courbe C et les droites D et T.
5°) a) A l’aide graphique, étudier, suivant les valeurs du paramètre p, le nombre de solution de l’équation : f(x) = x + p.
b) Préciser l’ensemble D des valeurs de p pour lesquelles cette équation admet deux solutions distinctes.
6°) Lorsque la droite d’équation y = x + p coupe la courbe C en deux points M et N, on note P le milieu le milieu de [MN].
On s’intéresse au lieu géométrique du point P.
a) Démontrer que les abscisses des points d’intersection M et N sont les solutions de l’équation (E) (p-2)x² + (1-2p)x + p = 0.
b) En déduire que l’abscisse du point P est :
xP = 1 + [ 3 / (2p – 4) ]
et démontrer que P appartient à la courbe C d’équation :
y = x + 2 + [ 3 / 2(x – 1) ]
c) Quel est l’ensemble décrit par xP lorsque p décrit D ?
d) Etudier les variations de la fonction g définie, pour tout réel x 1, par :
g(x) = x + 2 + [ 3 / 2(x – 1) ]
et tracer la courbe C’.
Préciser la partie de la courbe C’ décrite par le point P lorsque la droite prend toutes les positions possibles.



Voici mes réponses:

1°) Pour cette question, j'ai tout d'abord calculé la dérivé de la fonction.
Je trouve f'(x) = [ x² (x² - 4x + 3) ] / [ (x-1)^4 ]
Puis, j'étudie le signe. On sait que (x-1)^4 est toujours positif, il s'annule pour la valeur x = 1 et que x²(x²-4x+3) avec x² étant aussi toujours positif donc il suffit d'étudier la fonction polynôme. On calcul le discriminant et on trouve deux solutions: x=3 et x=1.
Ainsi, on peut dresser le tableau de variation suivant :
http://www.weplug.com/images_1/6133c84fdba678f4532a2d94a7ed55c220100918050900.jpg


Mais pour le reste, je bloque complètement..
Merci d'avance pour votre aide et vos conseils!

[Ericovitchi]

pour la 2°, pars de ax + b + [ (cx + d) / (x – 1)² ] réduis au même dénominateur et identifies chaque terme du numérateur à celui de la fraction d'origine. Ca te fera un système d'équations en a,b,c,d

La position de la courbe par rapport à y = x + 2 :
tu fais f(x)-'x+2) et tu étudies le signe. Si c'est positif au voisinage de l'infini c'est que la courbe est au dessus, sinon elle est en dessous

l’abscisse du point J de la courbe C en lequel la tangente est parallèle à la droite D : c'est résoudre f'(x)=1

[Emel-ii-nee]

Et pour la question 2°), une fois que j'ai tout mis au même dénominateur, je reste bloqué. Je n'arrive pas à simplifier...

[Ericovitchi]

tu réduis ax + b + [ (cx + d) / (x – 1)² au même dénominateur
une fois que tu a regroupé les termes de même degré
(ax³ +(b-2a)x²+(a-2b+c)x+b+d)/(x-1)² tu identifies chaque coefficient avec ta fonction c.a.d avec x³ (car ton égalité doit être vraie pour tout x donc les deux polynômes doivent avoir les mêmes coefficients à chaque puissance de x)
tu en déduis
a=1
b-2a=0
a-2b+c=0
b+d=0
qui est un système simple à résoudre

[Emel-ii-nee]

Merci beaucoup!
Donc pour la 2°) Je trouve bien a=1, b=2, c=3 et d=-2.
on peut donc ensuite faire f(x) - (x+2) et on trouve (3x-2)/(x-1)².
Donc en +infi, la courbe représentative de f et la droite d'équation y = x+2 tendent à se rapprocher indéfiniment, donc que la droite d'équation y = x+2 est une asymptote oblique à la courbe représentative de f . Correct ?

Pour la 3°), en posant f'(x)=1, je trouve x= 1/3.
Donc j'en ai déduis que l'équation de la tangente est y = x - 1/4.

Ensuite, pour la question 4°), voici le lien :
http://www.weplug.com/images_1/a29322d1d9489078bb92e6fe881ba8b120100918174605.png

Pour la 5°) a), je n'ai pas vraiment compris le but de la question et ce qu'on doit chercher. Qu'est-ce que le paramètre p ?

Merci.

[Ericovitchi]

y=x+p comment varie cette droite quand p varie ?
Ce sont des droites qui restent parallèles entre elles (de pente 1). Elles coupent l'axe y en p.

Donc en regardant le graphique, et en faisant varier ces droites, on te demande de discuter le nombre de points d'intersection entre la courbe y=f(x) et la droite y=x+p

[Emel-ii-nee]

Je ne suis pas sûr du tout d'avoir compris.. Mais en regardant mon graphique, je vois que la courbe y=f(x) et la droite y=x+p se coupe en un seul point.. Non, en faite c'est y=x+2.. Mais je ne vois pas du tout à quoi correspond la droite y=x+p ...

[Ericovitchi]

Je te l'ai déjà dit. les droites y=x+p sont toutes les droites qui sont parallèles à y=x+2 quand p varie. Donc imagines la droite y=x+2 monter l'axe des y en restant parallèle à elle même. elle va parfois couper la courbe en 2 points, en 1 point ou pas du tout. Il faut que tu donne les valeurs de p qui correspondent à ces cas là.

[Emel-ii-nee]

Ainsi, pour la 5°)a) on voit, d'après le graphique, que :
- pr p < -1/4, l'équation n'a pas de solution
- pr p = -1/4, l'équation admet une solution, la droite d'équation y = x - 1/4 étant tangente à f.
- pr -1/4 < p < 2, l'équation admet 2 solutions
- pr p = 2, l'équation admet une solution, la droite d'équation y = x+2 étant asymptote oblique à f
- pr p > 2, l'équation admet 2 solutions.

:)


Ainsi, pour la b), on peut dire que:
D = ] (-1/4) ; 2 [ U ] 2 ; +infi [


Pourriez vous m'aider également pour la suite ? :)