Dérivée d'une fonction

[Algoa]

Bonjour à tous.

Je fais un exercice sur les statistiques. Dans cet exercice, je suis confronté à la question suivante :

Le coût total de production (en francs) de x milliers d'unités est, pour x appartenant à [2 ; 15] :

CT(x) = 10^5 (x + 4 - 3lnx)

et le coût moyen de production d'une unité est, pour x appartenant à [2 ; 15] :

CM(x) = CT(x) / 1000x

1. On note CM' la dérivée de la fonction CM.
Calculer CM'(x) et démontrer que CM'(x) a le même signe que (lnx) - 7/3 pour tout x appartenant à [2 ; 15] .

CM est de la forme u/v, d'où CM' = (u'v - uv')/v², avec :
u = 10^5 (x + 4 - 3lnx)
u' = 10^5 (1 - 3/x)
v = 1000x
v' = 1000

En dérivant, je trouve donc ceci :

CM'(x) = [ [10^5 (1 - 3/x ) ](1000x) - [10^5 (x + 4 - 3lnx)](1000) ] / (1000x)²

En développant, j'arrive à ceci :

CM'(x) = [ [1000x(10^5)] - [1000x(3(10^5) / x)] - [1000(10^5x)] - [1000(4(10^5)] + [1000(10^5(3lnx))] ] / (1000x)²

Et je suis bloqué. Je vois mal comment développer plus cette expréssion, et même en la développant, je vois mal comment arriver à (lnx) - 7/3, à moins que cette dernière n'ait rien à voir avec CM'(x).
Voilà... J'espère m'être trompé quelque part. Pour l'instant je ne vois pas du tout comment m'en sortir. Si vous pouvez m'apporter vos lumières, je vous en serais infiniment reconnaissant.

[dom85]

bonsoir,

CM=10²(x+4-3lnx)/x

si tu poses u=x+4-3lnx u'=1-3/x
v=x v'=1

CM'=10²(-7+3lnx)/x²=10²*3(lnx-7/3) /x²

comme x² >0, CM' est du signe de lnx-7/3

bonne soirée

[fonfon]

Salut , comme CM(x)=CT(x)/1000x

soit CM'(x)=((CT'(x)*1000x)-(Ct(x)*1000))/(1000x²)
CM'(x)=((10^5(x-3)/x)*10^3x)-(10^5*10^3(4+x-3lnx)))/(10^3x)²
CM'(x)=((10^8(x-3))-(10^8(4+x-3lnx))/(10^6x²)
CM'(x)=(10^8(x-3-4-x+3lnx))/(10^6x²)
CM'(x)=(10^2(3lnx-7))/x² j'ai simplifié par 10^6

A+

[Algoa]

Merci beaucoup, je n'étais pas sûr que l'on pouvait simplifier. C'est effectivement beaucoup plus simple. Encore merci :)