Quotient de variable

[Louise2607]

Bonjour,
J'ai un petit problème concernant un exercice :
Soit 3 variables X1, X2, X3 :exponentielles de paramètre 1 ; indépendantes . Comment montrer que Y1= X1/(X1 + X2) , Y2=(X1+X2)/(X1+X2+X3) , et Y3=X1+X2+X3 sont mutuellement indépendantes ?

J'arrive juste à montrer que Y3 ou une somme quelconque de plusieurs des Xi est une loi gamma. Mais comment montrer cette indépendance ?

Merci d'avance de votre réponse !

[Doraki]

Il faut calculer la densité de probabilité du triplet (Y1,Y2,Y3) en partant de celle de (X1,X2,X3) et en appliquant le changement de variables.

[Louise2607]

J'ai fais le calcul et je trouve :
f(Y1,Y2,Y3)(y1,y2,y3)=1(y1)(0,1) * y2*1(y2)(0,1) * y3^2*exp(-y3)*1(y3)(R+)

J'espère que la notation est claire ... Ceci est cohérent avec l'énoncé ( on peut séparer la densité du vecteur avec la densité de ses composantes ) .

Mais le problème est que le deuxième terme n'est pas une densité au sens où lorsqu'on l'intègre cela ne fais pas 1 .

Pouvez vous me dire où est l'erreur .

Mercii

[Doraki]

Le troisième non plus !
Pique un facteur 2 à la loi de Y3 et passe-le à Y2, et c'est bon.