Revisions spé supplémentarité

[Matheur69]

Bonsoir aujourd'hui je suis tombé sur un exercice où l'on me donnait une matrice associées a une application lineaire f et on me demande de calculer le carré de la matrice et d'en déduire que ker f et im f sont supplémentaire sans calculs supplémentaire.

Problème je n'y arrive que par la méthode classique consistant a déterminer des bases des noyaux et image.

Sachant que je trouve A²=3A , comment dois-je faire ? Merci a vous

[girdav]

et ont le même noyau.

[Matheur69]

Ca ok, merci girdav.

J'ai des trous de mémoire et je vois pas pourquoi uniquement grace a cette observation on peut conclure ? Merci de m'eclairer.

[girdav]

On sait, en notant l'espace vectoriel en question, que l'on a . Le fait que permet de montrer que .

[Matheur69]

Ok ok ! Merci beaucoup !

Sinon , j'ai un autre problème, il faut montrer que l'espace des matrices symétriques et l'espaces des antisymétriques est supplémentaire.

MErci

[benekire2]

Salut

J'y connais pas grand chose aux matrices ( enfin juste le programme de TES spé) Ca ressemble au même exercice qu'on peut avoir avec les fonctions paires et impaires mais je me souviens plus comment faire ... ( it's a joke, si nightmare passe par là :zen: )

On a A=(A+tA)/2+(A-tA)/2 avec tA la transposée de A.


Je te laisse le soin d'achever ces preuves.

[Nightmare]

Salut,

il te suffit de revenir à la définition, à savoir montrer que ces espaces sont en somme directe (facile) et que cette somme fait E tout entier (facile en écrivant par exemple qu'une matrice M quelconque se décompose en (M+tM)/2+(M-tM)/2 (t=transposée)

[Matheur69]

Merci a vous c'etait facile en fait , je vais revoir les cours de sup ca me parait une bonne idée :-)

[abcd22]

On sait, en notant l'espace vectoriel en question, que l'on a .

J'ai peut-être raté une hypothèse qui implique cela dans l'énoncé, mais ceci est faux en général (prendre par exemple la matrice , l'image est égale au noyau et différente de l'espace tout entier), ce que l'on sait pour toutes les matrices, c'est que dim E = dim(Ker A) + dim(Im A).

Ici, on a un polynôme annulateur de la matrice, on peut utiliser le lemme de décomposition des noyaux.

[girdav]

Je suis allé un peu vite en besogne. On a que et les deux sous-espaces sont de dimensions supplémentaires.
On a donc que ce qui vaut par le théorème du rang (je crois que l'on ne peut pas s'en passer) la dimension de l'espace entier et montre que .

[Matheur69]

Re, j'ai encore un probleme avec ces foutus matrices, on me donne l'application :

f : R^n -> L(Mn(K),K) qui a X associe (Y--> tXY) où tX est la trenasose de X.

Il me faut montrer que c'est un isomorphisme, sans utiliser les dimensions, je suis donc condamner a montrer que Ker f =0 et qu'elle est surjective, cependant je n'y arrive pas.

Comment montrer par exemple que tXY=0 pour toutes matrices Y enteaîne que X=0 forcement ? De même comment montrer sa surjectivite ?
Merci

[Matheur69]

Bon je repond a ma question qui etait pas dur tout compte fait tXId=0 => X=0 .

En revanche je fais comment pour la surjectivité ?

[girdav]

Bonjour,
une chose que je ne comprends pas : l'espace est de dimension alors que est de dimension . Dès lors, la présence de l'isomorphisme paraît louche. Ou alors on a affaire à une erreur d'énoncé ou de recopiage.

[Matheur69]

oui pardon, c'est E un ev de dimension n et c'est L(E,K) avec donc notre application de K^n dans L(E,K) qui a X associe (Y--> tXY)
C'est donc la surjectivité que j'arrive pas

[girdav]

Si on prend linéaire, on doit montrer l'existence d'un vecteur de tel que pour tout . Il suffit donc de trouver les coordonnées de . Pour cela, on peut remplacer successivement par le -ème vecteur de la base canonique.

[benekire2]

Cé vrai j'oubliais qu'une application linéaire était définie par les valeurs de sa base ! Merci !

Sinon, j'ai un problème de trace, en cours j'ai vu que tr(AB)=tr(BA) et là on me demande de montrer que si pour toute matrice X (carré) tr(AX)=0 alors A=0 , je ne vois pas , merci de m'aider !

[Nightmare]

Cé vrai j'oubliais qu'une application linéaire était définie par les valeurs de sa base ! Merci !

Sinon, j'ai un problème de trace, en cours j'ai vu que tr(AB)=tr(BA) et là on me demande de montrer que si pour toute matrice X (carré) tr(AX)=0 alors A=0 , je ne vois pas , merci de m'aider !

:hein: :hein:

en cours ?

[girdav]

Salut benekire2,
tu peux évaluer l'égalité pour les matrices élémentaires , c'est-à-dire les matrices dont tous les termes sont nuls sauf le terme de la ligne et colonne qui vaut .

[Matheur69]

Merci girdav je vais essayer ca

Benekire2 concernant ton MP en effet ca doit marcher

[benekire2]

Nightmare >> Ouais 'en cours' en fait c'est 'dans un cours' http://fr.wikiversity.org/wiki/Matrice/Trace

Comme je découvre les matrices ( TES spé ) ca m'a donné envie de "complémenter" et je suis tombé sur la trace. Et puis ce thread m'a donné envie de regarder l'exo proposé, enfin j'aurais aimé voir la preuve, et girdav nous a débloquer ( enfin pour ma part)

Cela dit ne t'en fais pas ce ne sont pour moi que des "amusements", mais je ne compte surtout pas me plonger dans les matrices ( enfin du moins tout de suite :we: )

Comme tu l'as dit j'ai bien mieux a faire avec l'intégration !

Matheur69 >> , ouais c'est bon :id: