Sous espace vectoriel engendré

[megurine_luka]

Bonjour,

je ne comprends pas la résolution de cet exercice,

énoncé
dégager l'équation cartésienne d'un sous-espace vectoriel F à partir des vecteurs qui sont générateurs de F.

Exemple u=(1, 1, 2, 4) v= (3, 0, 1, 2) et w = (-1, 1, 3, 2)

correction
Dire que (x,y,z,t) appartient à l'espace engendré par u, v et w, c'est dire que le rang de la matrice suivante est égale à 3 :




Il suffit donc d'effectuer des opérations uniquement sur les lignes pour obtenir une forme échelonnée réduite de la matrice et l'équation apparaitrait d'elle-même



Et -4x-20y+2z+5t = 0

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Dire que (x,y,z,t) appartient à l'espace engendré par u, v et w, c'est dire que le rang de la matrice suivante est égale à 3 :



Pourquoi peut-on écrire cette matrice? et pourquoi faut-il que son rang soit égal à 3?


Merci

[girdav]

Bonjour,
on montre que forme une famille libre.
Ensuite il faut montrer l'équivalence qui est énoncé. Si est dans l'espace engendré par les trois vecteurs, il est clair que la matrice est de rang (elle est de rang au moins ) et ne peut pas être de rang et réciproquement si la matrice est de rang alors l'espace engendré par les vecteurs colonne est de dimension . Celui engendré par les trois premier est déjà de dimension , donc le dernier est forcément une combinaison linéaire des trois premiers.

[megurine_luka]

D'accord, merci.

Et -4x-20y+2z+5t = 0

a-t-on également
3z-x-5y=5
-3+2=y-x
1+3-1=x
?

Merci

[girdav]

Pas nécessairement (prend par exemple pour t'en convaincre). On demande juste à cette matrice d'être de rang , et comme on a vu qu'elle est de rang au moins il faut et il suffit qu'elle soit non inversible, ce qui se traduit par le fait que le terme de la dernière ligne et de la dernière colonne soit nul.