Calculer image d'une matrice

[megurine_luka]

Bonsoir,

je n'arrive pas à calculer l'image d'une matrice.


Calculer une base de ker A et Im A.
QUelles sont les techniques pour calculer Im A?


Merci!

[girdav]

Bonjour,
l'image est engendrée par les vecteurs colonne de la matrice, que je vais noter , , et . C'est aussi l'espace engendré par car . Vois-tu comment poursuivre?

[megurine_luka]

donc Im A=Vect(v1,v2,v3,v4)

or v1=v2+v3

donc Im A=Vect(v2,v3,v4)

ImA=Vect((1,1,0,m),(0,1,0,0),(0,1,m,0))?

[girdav]

Il faut regarder si cela forme une famille libre. Cela dépend du paramètre .

[megurine_luka]

si m 0
Im A=Vect(v1,v2,v3,v4)

or v1=v2+v3

donc Im A=Vect(v2,v3,v4)

ImA=Vect((1,1,0,m),(0,1,0,0),(0,1,m,0))


si m=0


A=vect(v1,v2,v3,v4)

v1=v2+v3
v4=v3
A=vect(v2,v3)
A=Vect((1,1,0,0),(0,1,0,0))

est-ce qu'il fallait faire?

Merci pour votre aide

[girdav]

Pour le cas il faut montrer que la famille que tu obtiens à la fin est libre.

[megurine_luka]

soit(,,)


(1,1,0,m)+ (0,1,0,0)+ (0,1,m,0) =0




(1,1,0,m)+ (0,1,0,0)+ (0,1,m,0) =0 => ===0

donc ((1,1,0,m),(0,1,0,0),(0,1,m,0)) est libre.

est ce bien ce qu'il fallait faire?
merci

[girdav]

Oui, mais je rajouterais que l'on identifie certaines coordonnées, par exemple la dernière pour obtenir que est nul par exemple.

[megurine_luka]

D'accord :happy2:
Puis pour finalement déterminer une base de im A il faudrait que je détermine le rang A=3.
Donc si j'applique le pivot de gauss et que j'obtiens une matrice echelonnée j'aurais le rang.
comment déterminer le rang autrement qu'avec le pivot de gauss?

[girdav]

Ici je ne crois pas que cela soit nécessaire puisque l'on a trouvé une famille libre de vecteurs qui engendrent l'image, autrement dit une base.
Le fait de connaître une base de l'image permet bien sûr de trouver le rang.