Etude d'une suite

[AZERTY199]

Bonjour,
J'essaye d'étudier la suite un+1=racine(2-un) avec u0 inconnue mais je bloque.
Ds un premier temps j'ai essayé d'étudier la fonction f(un)=un+1 qui est décroissante sur ]-infini;2] mais ensuite je n'arrive pas vraiment à continuer. Il faut probablement étudier trois cas selon les valeurs de uo?

[barbu23]

Bonjour : :happy3:
Il s'agit d'appliquer le théorème du point fixe qui figure sur la page suivante :
http://www.les-mathematiques.net/a/m/o/node5.php3
Alors :
Tu as comme relation de recurrence :

avec :
On a :.
Tu verifies d'abord que : est contractante :
est evidemment complet.
Donc : la limite de est tel que est solution de l'équation :
Donc, tu résouds l'équation : et tu deduis la limite de ta suite. :happy3:

[AZERTY199]

Bonjour : :happy3:
Il s'agit d'appliquer le théorème du point fixe qui figure sur la page suivante :
http://www.les-mathematiques.net/a/m/o/node5.php3
Alors :
Tu as comme relation de recurrence :

avec :
On a :.
Tu verifies d'abord que : est contractante :
est evidemment complet.
Donc : la limite de est tel que est solution de l'équation :
Donc, tu résouds l'équation : et tu deduis la limite de ta suite. :happy3:

Oui je trouve ça et comme limite je trouve -2 et 1

[AZERTY199]

Tu verifies d'abord que : est contractante :
est evidemment complet.

C'est-à-dire?

[barbu23]

C'est-à-dire?

c'est écrit ici :
http://www.les-mathematiques.net/a/m/o/node5.php3
Tu es en quelle classe ? :happy3:

[AZERTY199]

Oui d'accord mais ici f est définie sur ]-infini;2] et son image donne[0;+infini[
Donc f( ]-infini;2]) n'est pas inclu dans [0;+infini[.
Par consequent on ne peut pas utilisé le théoreme?!?
Je suis en PSI et la reprise est un peu difficile ^^

[barbu23]

Ouais, c'est vrai ! :happy3:
Donc, ce n'est pas le bon théorème à utiliser ! Il faut chercher un autre moyen que celui qu'on vient de proposer ! dommage ! :happy3:
EN plus la limite d'une suite est unique , alors que toi tu as trouvé deux qui appartiennent tous au domaine de definition ! ce n'est donc pas ce théorème qu'il faut utiliser ! :happy3:
Je reflechirai à la bonne methode ce soir et te montrer ce que j'ai fait !
A plutard ! :happy3:

[girdav]

Bonjour,
pour que existe, on voit qu'il faut . On suppose que tous les termes existent jusqu'à . Une condition pour que existe est que donc soit . Maintenant, on voit que l'on peut considérer comme intervalle stable par l'intervalle .

[AZERTY199]

Donc on a f([-2;2]) inclue dans [0;2]
Et f est contractante sur [-2;2]
Et f a un point fixe 1 qui appartient à [-2;2]
Donc (un) avec u0 appartient à [-2;2] converge vers 1
C'est bien ça?
Et maintenant pour connaître la monotonie je dois sans doute faire des cas suivant les u0 possible non?

[girdav]

En fait on peut considérer comme intervalle stable (on doit être dedans dès ).
Pour la croissante, on peut former la différence .

[AZERTY199]

Un+1-Un?!?

[girdav]

Oui, d'ailleurs sauf erreur de ma part on voit que si alors et si alors .

[AZERTY199]

Je pense plustot qu'il faut étudier (u2n) et (u2n+1) non?

[girdav]

Je pense plustot qu'il faut étudier (u2n) et (u2n+1) non?

Pourquoi donc?

[AZERTY199]

La suite forme un "escargot" lorsque l'on la trace, donc diffère si les termes sont paires ou impaires non?

[ffpower]

C'est une idée interessante en effet. Utiliser la décroissance de f sur [0,2] permet d'étudier la monotonie des 2 suites extraites que tu as proposées.

[AZERTY199]

Le problème c'est que je n'y arrive pas car pour trouver les variations de (u2n) il faut trouvé le signe de u2-u0 et on a uniquement u0 appartenant à [-2;2]

[girdav]

Je crois qu'il faut plutôt trouver le signe de .

[AZERTY199]

Mais comment?

[girdav]

En partant de l'expression ! Bon, d'accord, je ne fais pas beaucoup avancer le problème. Un début de calcul :