Equivalents de racines...

[Kromy]

Bonjour,

Je cherche à montrer que l'équation x^n - n.x + 1 = 0 admet une racine dans ]0;1[ (notée xn) et une autre dans ]1;+infinie[ (notée yn) puis à donner un équivalent de xn ainsi que la limite l de yn (et finalement un équivalent de yn-l).
Je précise que n>3.

J'ai pensé à utilisé le théorème des valeurs intermédiaire, ou bien Rolle... mais en essayant je ne vois pas comment faire.
Et même en admettant que je prouve l'existence des racines, comment en trouver un équivalent ?

Merci de votre aide.

[Nightmare]

Salut,

le théorème des valeurs intermédiaires me semble être une bonne idée, surtout que la dérivée est quand même assez facile à étudier, donc le tableau de variation facile à tracer.

[benekire2]

Salut !

Où en est -tu ? As tu montré l'existence de ces zeros et leur unicité ? As -tu étudié le sens de variation des suites x_n et y_n ? Bref, dis nous ce que tu as fait !

Pour ce qui est de l'équivalent que tu cherche, il faudra très certainement utiliser ta relation qui défini x_n

Pour le tout début(existence des zeros) étudie la fonction, qui à le bon goût de pas être dure.

[Kromy]

Mais a-t-on besoin de la dérivée pour appliquer le théorème des valeurs intermédiaires ? C'est pour Rolle ou le théorème des Accroissement finis qu'il la faut non ?

Car avec le thm des valeurs intermédiaire je n'arrive pas à trouver deux valeurs a et b telles que f(a).f(b)<0... (dans ]0;1[ par exemple)

[Nightmare]

Dériver permet de tracer le tableau de variation et il me semble bien que le tableau de variation soit assez essentiel pour parler de valeurs intermédiaires non? :lol3:

[euler21]

Salut
tu as f(0)=1 et f(1)=2-n comme n est supérieur à trois ...

[benekire2]

Mais a-t-on besoin de la dérivée pour appliquer le théorème des valeurs intermédiaires ? C'est pour Rolle ou le théorème des Accroissement finis qu'il la faut non ?

Car avec le thm des valeurs intermédiaire je n'arrive pas à trouver deux valeurs a et b telles que f(a).f(b)<0... (dans ]0;1[ par exemple)

Bah le tableau de variation c'est pas mal dans le sens où une flèche traduit la bijectivité et la continuité sur un intervalle. C'est précisément ce que tu veut.