Exercice de suite

par **matt_ilde** » 07 Sep 2010, 18:15

Bonjour, bonsoir,

Me voilà un l'exercice 2 de mon dm, et je bloque. J'aurai besoin de panneaux d'indication s'il vous plait... Car je suis vraiment perdue.
L'énoncé:

Un client d'une banque dispose, au premier janvier 2005, d'une somme de 1000 euros qu'il dépose sur son compte.
La banque rémunère à 5% d'intérêts annuels toutes les sommes déposées et vers ses intérêts sur le comte de son client tous les 31 décembre de chaque année.
De plus, ce client décide de rajouter 950 euros tous les 31 décembre de chaque année.
On désigne par Un (n entier positif ou nul) la somme disponible après n années écoulées depuis le premier janvier 2005, ainsi U0= 1000

1) Calculer U1, U2, et U3. (Donner les résultats arrondis au centième prés)

L'année 0= 1000 je suppose que les années "s'arretent" le premier janvier
L'année 1 soit U1 correspondrait alors à l'année 2005 avec les 1000 euros, plus les 950 et les 5% d'intérêt, ou alors U1 correspondrait à l'année 2005 comme précédemment plus les 1000 euros du premier janvier 2006 ?

Ceci changerait donc tout !
Une idée?

Par instinct j'ai calculé U1= 1000+ 950+ (5/100 * 1950)= 1997,5
U2= 1997,5 + 1000 + 950 + (5/100 * 3947,5) = 4144,87
U3 = 4144,87 + 1000 + 950 + (5/100 * 6094,875) + 6399,62

2) Etablir, pour tout n positif ou nul, une relation entre U(n+1) et Un.

Là j'ai strictement aucune idée du chemin à prendre... surtout qu'il me faudrait confirmation de la question 1... :s

Je m'arrête ici, bien qu'il reste 3 autres questions auxquelles je risque d'avoir des doutes, mais résoudre ces deux là en premier seraient pas mal !

Merci d'avance pour le temps que vous prenez pour m'aider, j'apprécie beaucoup!

par **Ericovitchi** » 07 Sep 2010, 18:52

la première année, il y a les 1000 avec leur intérêt 5% x 1000 + les 950 mais il ne faut pas prendre d'intérêt sur les 950 puisque'ils ont été déposés le 31 décembre donc U1= 1000+ 950+ (5/100 * 1000)

Après idem pour U2
C'est U1 + 5% U1 + 950

Tu vas vite en déduire Un+1= Un (1.05)+ 950 , etc ....

par **matt_ilde** » 07 Sep 2010, 18:54

A force de relire et relire, je me suis rendue compte d'une erreur, le client ne dépose 1000 euros qu'une seule fois.

Donc mes calculs sont déjà faux.

Mais ma question est: quand finis l'année U0, et quand commence U1?

Puisque U0= 1000 et non 1950, U0 finirait alors le 30 décembre 2005!? Étrange non?
Et pareil pour U1, commencerait le 31 décembre 2005, finirait le 30 décembre 2006?

par **Ericovitchi** » 07 Sep 2010, 18:57

oui U0=1000 et on est au 1 janvier 2005
U1 est au 1 janvier 2006, etc...
(considères que ce sont des dates et pas des durées, ça sera plus simple)

par **matt_ilde** » 07 Sep 2010, 18:58

Je comprends ce que tu veux dire, j'apporouve, je trouve ca logique.

Mais où sont les 950 du 31 décembre 2005?

Ils ne sont pas dans U0 puisque U0= 1000
Mais ils ne sont pas non plus dans ton U1... :s

par **matt_ilde** » 07 Sep 2010, 20:19

Tu as raison, ca m'aide de penser les U0.. U1 comme des dates et non des durées, car sinon c'est prise de tête.. :S

Pour la question deux je vois bien le U(n+1) = 1,05 Un + 950
C'est logique.

Ce qui me fait dire que l'énoncé est mal fait, puisqu'il ne précise pas que le client ne dépose pas 950e en décembre 2005. Or, il n'est pas dans U0, et si on le place dans U1, la relation entre U(n+1) et Un n'est plus valable... :s

Je vais en parler à mon professeur dès demain.
En tout cas j'ai déjà la réponse une et la deux en tête ! C'est déjà ça :)
Il ne manque plus que l'appui du professeur !

Merciii beaucoup !

par **Ericovitchi** » 08 Sep 2010, 07:43

Si, il y a bien un dépot de 950 le 31 décembre 2005 et il est bien dans U1 (en rouge) :
U1 = 1000+ 950+ (5/100 * 1000)

je ne vois pas bien ce qui te trouble dans tout ça.
U0 =1000 est l'argent possédé au bout de 0 année (c.a.d au début)
U1 est bien l'argent possédé au bout d'un an,
Si dans Un+1= Un (1.05)+ 950 tu fais n=0 tu tombes bien sur la formule U1 = 1000+ 950 + (5/100 * 1000)
Il n'y a pas dambiguïté dans lénoncé.

par **matt_ilde** » 08 Sep 2010, 12:09

On dit toujours qu'une bonne nuit de sommeil porte conseil, et effectivement je me rend compte qu'il n'y a pas d'ambiguité possible.

J'avais tendance à poser u comme une durée et non une date.
Tout est plus clair.

Par contre, pour bien faire je bloque à la question 3 également..

3) On considère la suite (Vn) définie, pour tout entier naturel n, par
Vn= Un + 19000
Montrer que la suite (Vn) est une suite géométrique dont on donnera le premier terme Vo et la raison q.

J'écris:
Quelque soit n appartenant à N,

(V(n+1))/ (Vn) = q

(U(n+1) + 19000)/ (Un + 19000)

= (Un + 19000) / (Un + 19000) + 1/ (Un + 19000)

= 1+ (1/Vn)

= (Vn)/(Vn)^2

Je pense avoir une erreur dans mon calcul la deuxième ligne ne me semble pas logique. Et surtout comment faire pour connaitre le coefficient de Vn qui donnerait (Vn)/(Vn)^2 ??

Une idée? :s

J'admire votre patience..

par **Ericovitchi** » 08 Sep 2010, 12:22

Tu n'as pas pris une voie simple.

Tu as Un+1= 1.05 Un + 950 et également Un=Vn-19000 et Un+1=Vn+1-19000

Remplaces Un et Un+1 dans l'expression Un+1= 1.05 Un + 950 et tu devrais trouver une expression genre Vn+1 = q Vn

par **matt_ilde** » 08 Sep 2010, 19:30

Effectivement, tout devient plus facile!
Je n'avais pas vu cette relation entre Un+1 = Vn+1 - 19000 et ça aide beaucoup!

Encore mille mercis !
La question suivante demande de déduire l'expression de Vn et de Un en fonction de n.

J'ai déduis que Vn= 20000 * 1,05^n
et que Un= 20000* 1,05^n - 19000

Y a t-il plus simple?

Il faut ensuite dire si oui on non le client pourrait atteindre 100 000 euros d'économie et le justifier.
La réponse évidente est oui.

Est-ce qu'un simple calcule de U10 suffirait à le justifier, ou attendons en plus de nous?

Exercice de suite

Exercice de suite

?? problème d'années

Merciii

Problème d'énoncé

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