Equation d'inconnu z

par **Sky29** » 07 Sep 2010, 11:48

Bonjour à tous,

Mon problème à résoudre est le suivant : (z appartient à C)

z^(5) - 1 = 0

J'ai tente la chose suivante : z^(5) - (1)^5 = 0
z^(5) = 1^(5)
=> z = 1 ?
a+bi=1
Une fois arrive là je trouve une infinité de solutions pour a et b.

Quelqu'un peut il m'aiguiller svp, merci.

par **girdav** » 07 Sep 2010, 11:51

Sky29 a écrit:Bonjour à tous,

Mon problème à résoudre est le suivant : (z appartient à C)

z^(5) - 1 = 0

J'ai tente la chose suivante : z^(5) - (1)^5 = 0
z^(5) = 1^(5)
=> z = 1 ? Je ne comprends pas pourquoi on aurait cette implication.
a+bi=1
Une fois arrive là je trouve une infinité de solution avec pour a et b.

Il faut que a et b soient réels donc si on a

alors

et

. Mais là n'est pas la question.
Si

est solution, quel est son module?
Peux-tu trouver une condition sur son argument?

par **Nightmare** » 07 Sep 2010, 11:51

Salut,

tu trouves une infinité de solutions? Je veux bien voir d'où elle sort cette "infinité" !

par **Ericovitchi** » 07 Sep 2010, 12:13

Et puis

z^(5) = 1^(5) => z = 1 ?

c'est un peu rapide comme conclusion ! par exemple (-1)^(2/5) est aussi solution
Pour un polynôme du 5 ième degré, il y a 5 (et seulement 5) solutions qui marchent. Reste à les trouver.

par **Black Jack** » 07 Sep 2010, 12:24

z^5 - 1 = 0
z^5 = 1
z^5 = e^(i.2k.Pi) avec k dans Z

z = ...

Et ensuite tu trouveras les 5 solutions en prenant k = 0, 1, ... , 4

:zen:

par **Sky29** » 07 Sep 2010, 12:55

Merci pour vos réponses.

par **Sky29** » 07 Sep 2010, 14:29

Je n'avais pas eu le cours sur la racine nième le prof ne l'ayant pas encore fait.

Merci à vous.

Bonne journée!

par **IGrM** » 07 Sep 2010, 15:31

tout complexe a deux sortes d ecritures : trigonometrique et exponentielle
l ecriture adequate ici est exponentielle je m explique:
ecrire z=r*e^(im) avec r reel positif et m reel donc z^5=r^5*e^(i5m)
or l ecriture de 1 en exponentielle est 1*e^(2kpi)avec k entier. il resulte de l egalite r^5*e^(i(5m-2kpi))=1 consequence

r=1 et 5m=2kpi mais on remarque que lorequ on prend k diff des valeurs 0 1 2 3 4 la solution trouvee existe deja d ou les solutions

r=1 et 5m=0,2pi,4pi,6pi,8pi

par **Sky29** » 07 Sep 2010, 17:59

Merci encore :we:

par **Sky29** » 08 Sep 2010, 15:25

Bonjour à tous,

J'ai une autre question qui me pose problème dans la suite de ce même exercice.

Il nous est demande de trouver Q(z) tel que :

z^(5) - 1 = (z-1)Q(z)

J'ai trouve pour Q(z) = z^(4) + z^(3) + z^(2) + z + 1

Il nous est demande ensuite de trouver Q(z)=0 et c'est la que ca me pose problème. Il y a une indication de possibilite de changement de variable : Z = z + 1/z

Je ne vois pas du tout ce qu'il faut faire.

Merci pour votre aide.

par **Nightmare** » 08 Sep 2010, 15:29

Salut,

comment peux tu ne pas voir du tout ce qu'il faut faire alors qu'il t'est donnée une indication dans l'énoncé? :s

par **Sky29** » 08 Sep 2010, 16:14

J'ai bien tenu compte de l'indication! Sauf que je me retrouve avec deux variables emboitées et je ne sais pas si cela est vraiment possible.

Equation d'inconnu z

Equation d'inconnu z

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