[L1] Equivalents

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benekire2
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par benekire2 » 22 Aoû 2010, 22:55

Merci mahelot pour ces précisions et merci nightmare :lol3:

Je vais donc attendre d'avoir des notions de calcul intégral pour aborder l'exercice. J'y reviendrais plus tard !



benekire2
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par benekire2 » 05 Sep 2010, 14:50

Bonjour, j'ai encore une question sur les équivalents qui me pose problème.

Voici l'exercice entier.

Soit n>0 un entier. On considère l'équation tanx=x d'inconnue x.

1. Montrer que cette équation possède une seule solution dans l'intervalle notée
2. Déterminer un équivalent de lorsque n tend vers l'infini.
3. On pose Exprimer \delta_n en fonction de et de la fonction arctan.
4. Montrer que
5. En déduire que

Alors pour les questions 1,2,4 j'ai réussi mais pas pour les autres.

Est-ce que quelqu'un peut me passer un coup de main pour la question 3 ?

Merci :happy3:

girdav
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par girdav » 05 Sep 2010, 15:35

Bonjour,
que donne le calcul de ?

benekire2
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par benekire2 » 05 Sep 2010, 15:45

Salut, i.e

Merci à toi ;)

Et pour la question 5 je fais comment ? Je vois pas trop comment utiliser le résultat de la question 4 ,

Merci !

EDIT. i.e en gros ça me dit rien de plus ...

EDIT2. Ca m'apprend que va tndre vers pi/2, me reste plus que deux termes, et a mon avis, ça doit se faire à l'aide de la question 4.

ToToR_2000
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par ToToR_2000 » 05 Sep 2010, 16:50

Bonjour,

Il faut en effet utiliser la question 4 pour exprimer delta_n différemment et pouvoir appliquer un développement limité. Si tu ne connais pas encore cette notion, l'exercice va te sembler un peu fastidieux.

benekire2
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par benekire2 » 05 Sep 2010, 16:54

Salut totor, en fait l'idée est de remplacé le pi/2 par arctanx+arctan1/x et d'en faire un développement asymptotique ?

Edit. Non , ca sert a rien puisque arctanx+arctan1/x=pi/2

Comment je fait pour utiliser la question 4 ? Merci !

ToToR_2000
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par ToToR_2000 » 05 Sep 2010, 17:22

En fait, dans ce genre d'exercice, il faut effectuer un dev limité suivant x_n dans les fonctions qu'on te propose. Cependant, ce n'est possible que lorque x_n tend vers 0 (ou une valeur finie). Si x_n a le malheur de tendre vers l'infini, alors il faut ruser et introduire 1/x_n. Et la formule 4 le suggère très clairement (si on a un peu l'habitude :)).
Donc:

et comme arctan admet un dev liimité en 0...
EDIT: et j'ajoute bien sûr qu'il faut recycler les premiers termes du dev de x_n que tu as déjà trouvé, à savoir x_n = n\pi + \pi/2 + o(1)

benekire2
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par benekire2 » 05 Sep 2010, 17:41

Merci encore Totor !!

Je connaissais l'astuce du changement de variable,

Merci pour cette aide :zen:

benekire2
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par benekire2 » 05 Sep 2010, 17:54

Re,

Encore un exo du genre :

Donner un développement asymptotique de précision 1/n^3 de la solution de l'équation pour n> entier.

J'ai avec les équivalents classiques , mais là je pense que pour le pousser plus loin il faut faire appel à des outils plus puissants comme les DL, mais comment faire ?
Je débute sur ces exercices, mes questions sont sans doute très basiques, désolé !

Merci beaucoup !

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mathelot
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par mathelot » 05 Sep 2010, 18:05

benekire2 a écrit:Bonjour, j'ai encore une question sur les équivalents qui me pose problème.

Voici l'exercice entier.

Soit n>0 un entier. On considère l'équation tanx=x d'inconnue x.

1. Montrer que cette équation possède une seule solution dans l'intervalle notée
2. Déterminer un équivalent de lorsque n tend vers l'infini.
3. On pose Exprimer \delta_n en fonction de et de la fonction arctan.
4. Montrer que
5. En déduire que

Alors pour les questions 1,2,4 j'ai réussi mais pas pour les autres.

Est-ce que quelqu'un peut me passer un coup de main pour la question 3 ?

Merci :happy3:



Salut Benekire!

c'est trop génial (je viens de comprendre...le chainon manquant)
l'exercice est passé il y a un ou deux ans sur le forum.
A l'époque, il avait passionné tout le monde , en particulier Yos et Pythalès...

Cette suite (dénombrable) de racines de l'équation tan(x)=x et x>0
a de très nombreuses et jolies propriétés.
En particulier,

converge et la somme est rationnelle
et p-e aussi les mêmes propriétés pour tout exposant pair


La suite est répertoriée chez Wolfram et chez Sloane

l'idée, qui m'avait échappé est sans doute celle-çi

- la fonction tangente est périodique avec une seule asymptote verticale (modulo )

on doit pouvoir monter aisémment qu'il y a exactement une solution par intervalle , ce qui donne l'équivalent et la partie principale de la solution

Une fois soustraite cette partie principale (içi )
le reste est borné et s'étudie alors de manière plus aisée
en passant à l'arctangente

tan(x)=x
au lieu d'inverser en x=arctan(x) qui ne coniviendrait pas
on inverse en

x=partie principale de x+arctan(x)
pour se ramener à l'intervalle

et ensuite toutes les priorités agréables de arctan()
son à disposition pour étudier cette partie résiduelle bornée

benekire2
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par benekire2 » 05 Sep 2010, 18:10

Salut mathelot,

Oui cet exercice est assez sympathique ( enfin il doit pas être dur en principe je pense ... )

Pour mon dernier problème je pensais dire que

et puis développer ça à l'aide de Taylor youg tel le bourrin de base ^^

Vous en pensez quoi ?

ToToR_2000
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par ToToR_2000 » 05 Sep 2010, 18:16

Si tu ne connais pas les DL, j'avoue que je ne vois pas comment t'en sortir. En les utilisant, eh bien comme tu as déjà un premier DL de x_n, tu peux le pousser plus loin en te servant de l'equation dont x_n est solution. En gros, remplace exp de -x_n/n par exp(-(1-1/n+o(1/n))/n).

Mais si tu as des doutes ou des lacunes sur l'utilisation des DL, je ne saurais trop te conseiller de te plonger dans le cours.

benekire2
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par benekire2 » 05 Sep 2010, 18:22

Ah ouais, c'est ce que j'ai fais, j'ai remplacé comme toi :zen:

Oui je traite actuellement des DL, donc j'y connais pas grand chose encore, mais ça ne va pas m'empêcher de finir l'exo : il suffit de développer par Taylor youg ( même si c'est "très long" et très chiant ) et on y arrive.

Encore merci !

benekire2
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par benekire2 » 06 Sep 2010, 14:30

Salut à tous,

J'ai un problème, quand je rédige l'exercice je ne trouve pas la même chose que ce que je suis censé trouver ..

En principe je dois trouver :



Soucis, en commencant a développer avec l'arctan, je tombe sur un machin qui n'a pas de termes de degré 2 ... :



Ques-ce qui ne va pas ?

Merci !

EDIT. Ma question est assez bête étant donné que j'avais pas fini de calculé, normal que j'avais pas le résultat ..

 

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