benekire2 a écrit:Bonjour, j'ai encore une question sur les équivalents qui me pose problème.
Voici l'exercice entier.
Soit n>0 un entier. On considère l'équation tanx=x d'inconnue x.
1. Montrer que cette équation possède une seule solution dans l'intervalle
notée
2. Déterminer un équivalent de
lorsque n tend vers l'infini.
3. On pose
Exprimer \delta_n en fonction de
et de la fonction arctan.
4. Montrer que
5. En déduire que
Alors pour les questions 1,2,4 j'ai réussi mais pas pour les autres.
Est-ce que quelqu'un peut me passer un coup de main pour la question 3 ?
Merci :happy3:
Salut Benekire!
c'est trop génial (je viens de comprendre...le chainon manquant)
l'exercice est passé il y a un ou deux ans sur le forum.
A l'époque, il avait passionné tout le monde , en particulier Yos et Pythalès...
Cette suite (dénombrable) de racines de l'équation tan(x)=x et x>0
a de très nombreuses et jolies propriétés.
En particulier,
converge et la somme est rationnelle
et p-e aussi les mêmes propriétés pour tout exposant
pair
La suite est répertoriée chez Wolfram et chez Sloane
l'idée, qui m'avait échappé est sans doute celle-çi
- la fonction tangente est
périodique avec une seule asymptote verticale (modulo
)
on doit pouvoir monter aisémment qu'il y a exactement une solution par intervalle , ce qui donne l'équivalent et la partie principale de la solution
Une fois soustraite cette partie principale (içi
)
le reste est borné et s'étudie alors de manière plus aisée
en passant à l'arctangente
tan(x)=x
au lieu d'inverser en x=arctan(x) qui ne coniviendrait pas
on inverse en
x=partie principale de x+arctan(x)
pour se ramener à l'intervalle
et ensuite toutes les priorités agréables de arctan()
son à disposition pour étudier cette partie résiduelle bornée