Moyenne géométrique

par **nathanap** » 05 Sep 2010, 12:28

Bonjour,
considérons n nombres, je cherche à prouver que la moyenne géométrique de ces n nombres auxquels on ajoute 1 est plus grande que la moyenne géométrique de ces n nombre à laquelle on ajoute 1.
Je n'ai pas tellement de piste... Si vous avez le temps de m'aider je vous remercie

par **Ericovitchi** » 05 Sep 2010, 13:26

Si je comprends bien, tu veux montrer que :

C'est ça ?

par **nathanap** » 05 Sep 2010, 13:26

exactement

par **Ericovitchi** » 05 Sep 2010, 13:54

Sûrement une inégalité de convexité, mais il faut trouver laquelle !

par **nathanap** » 05 Sep 2010, 14:13

Bah le +1 à droite rend inutile le passage au ln donc on ne peut pas utiliser sa concavité dans un premier temps

Enfin dans le problème initial on me demandait de prouver que G(a1+b1,...,an+bn) >= G(a1,...,an) + G(b1,..,bn) avec G la moyenne géométrique, je me suis dit qu'en divisant tout par G(b1,..,bn) et en étudiant les rapport (a1/b1), ... , (an/bn) on réduisait le nombre de variables et on simplifiait le problème mais en fait peut être pas ...

par **ToToR_2000** » 05 Sep 2010, 16:01

Bonjour,

Même si la forme exacte du problème ne s'y prête pas à première vue, passer au log dans ce genre d'exercice est quasi-obligatoire.
Fait-le sur le membre de gauche de l'inégalité puis utilise le fait que: ln(1+x)>x (je considère que tes ak sont positifs).
Ensuite, tu verras que tu peux encore minorer en utilisant e^x>1+x...

par **Olympus** » 05 Sep 2010, 16:07

Facile, montre d'abord que

.

Attention cependant, il faut que les

soient strictement supérieurs à

et de même signe .

par **Olympus** » 05 Sep 2010, 16:17

Ah non désolé, mon inégalité est inutile car j'avais mal lu et confondu le membre de gauche de l'inégalité initiale avec

.

Je vais voir quand même .

par **nathanap** » 05 Sep 2010, 16:21

euh oui, d'ailleurs en parlant des ak ils sont strictements supérieurs à 0 ;)

par **girdav** » 05 Sep 2010, 16:28

Si on prend

alors on a en notant

et

alors on a

mais

.

par **ToToR_2000** » 05 Sep 2010, 16:44

Si tous les ak sont égaux entre eux, alors tu as une égalité...

par **nathanap** » 05 Sep 2010, 16:49

oui, enfin ca ne mavance pas beaucoup ...

par **ToToR_2000** » 05 Sep 2010, 17:04

Je te conseille d'étudier la fonction de R^n dans R:

Si tu arrives à prouver qu'elle admet un min global, alors tu pourras calculer la valeur du min...

par **Olympus** » 05 Sep 2010, 17:13

J'ai trouvé, c'est tout con :zen:

On prouvera la généralisation suivante d'abord :

.

On a par AM-GM :

Donc en sommant :

On enlève les dénominateur et hop on a notre généralisation .

On met les b_k à 1 et hop on a l'inégalité recherchée .

CQFD

par **nathanap** » 05 Sep 2010, 17:53

bien joué ^^

par **Ericovitchi** » 05 Sep 2010, 22:19

Oui bravo Olympus car moi je n'avais rien trouvé du tout.

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