[Proba] loi normale

[ooxxoo]

Bonjour

j'ai un petit problème de probabilité qui me pose problème !
Je vous l'énonce:
soit X et Y de variable aléatoire de loi normale centrée réduite N(0,1), indépendantes
Je cherche à calculer la probabilité P(max(X,X+Y) <= 0)

La première idée qui m'est venue est de conditionner par rapport à X:

P(max(X,X+Y) <= 0) = integrale( P(max(X,X+Y) <= 0 | X = x)*f(x), x allant de -inf à +inf)
f étant la fonction de densité de probabilité de la loi N(0,1).
pour x > 0, on a bien sur P(max(X,X+Y) <= 0 | X = x) = 0
pour x < 0 on a l'égalité P(max(X,X+Y) <= 0 | X = x) = P(X+Y <= 0 | X = x) =P(Y <= -x | X = x)
par independance des variables X et Y:
P(max(X,X+Y) <= 0 | X = x) = P(Y <= -x)
On a donc
P(max(X,X+Y) <= 0) = integrale( P(Y <= -x) *f(x), x allant de -inf à 0)
P(max(X,X+Y) <= 0) = integrale( F(-x) *f(x), x allant de -inf à 0)
F etant la fonction de repartition

Voila ou j'en suis pour le moment, mais je n'arrive pas à me sortir de ce calcul d'intégrale !

merci de votre aide

[girdav]

Bonjour,
je n'ai pas tout lu, mais je crois que l'on peut s'en sortir en calculant une densité du couple puis en intégrant cette densité sur .

[MathMoiCa]

Salut,

Pour reprendre l'idée de girdav, (X,X+Y) est un vecteur gaussien car (X,Y) en est un (indépendance de X et Y). Donc on peut très facilement avoir la densité du couple en connaissant celle de la loi normale bivariée (avec la covariance égale à 1).


M.