Comprendre les différentielles de mon bouquin

[calogerogigante]

Bonjour,

Je suis coincé dans mon apprentissage des différentielles, car je ne comprends pas l'explication de la définition dans le livre que j'ai décidé d'étudier.

Le livre c'est "Analyse - Schaums - De M. Murray Spiegel"

L'extrait de 3 pages en question est visible intégralement ici sur mon site :
http://www.gigante.be/fichierspublics/analyse_p57_a_59.pdf

Ce que je ne comprends pas : quel est cet au bas de la page 58 ?

Je comprends bien ceci :


Où dans ce cas-ci, on parle bien de x comme variable générale.

Mais là où c'est le mystère le plus complet, c'est pourquoi d'un côté, on pose :


et ensuite d'où vient ceci :



C'est quoi cet epsilon et pourquoi tend-il vers 0 quand tend vers 0.

Je ne vois même pas à quoi cela correspond géométriquement ?

Quelqu'un peut-il éclairer ma lanterne ?

[Arnaud-29-31]

Salut,

On est d'accord que

On peut donc écrire que avec une fonction qui tend vers 0 quand x tend vers 0.

[calogerogigante]

OK, merci Arnaud, je vais essayer de comprendre grâce à ton intervention.

Mais d'abord une première question sur ce que tu viens de dire, pourquoi passes-tu de

à

au lieu de passer de :

à ?

Est-ce voulu qu'il n'y ait plus de limite dans l'écriture qui ajoute epsilon ?

[Arnaud-29-31]

Oui c'est voulu,
tu ne peux pas écrire puisque je sais pas si tu vois ... :s

Si tu choisis , tu peux bien écrire

Si tu passes ensuite l'expression à la limite, tu verra que ta fonction vérifie bien .

[calogerogigante]

Je suis complètement largué, là...

Je ne comprends vraiment pas cet ajout de epsilon. Si je suis ton raisonnement, epsilon dans ce cas n'a aucune représentation géométrique dans le plan (cf schéma p.58)

Avançons tout de même dans le flou car je n'ai pas encore compris. Même si j'accepte l'idée de comprendre que epsilon est une fonction de x (ou alors une fonction de ?) qui tends vers 0 quand tends vers 0, pourquoi diantre écrit-on cela :



Où veut-on en venir ????

Tout ça m'embête car j'aimerais comprendre dans les moindres détails la notation différentielle dy/dx, et pour l'instant, je suis dans le jus de purée !

[wotan]

C'est vrai que c'est un peu obscur, je comprendrais si on avait:



Où serait identiquement nul uniquement dans le cas où f est linéaire. Mais comment en viennent-ils à déduire que l'erreur est linéairement dépendante de ?

[Olympus]

Faut pas oublier les deux hypothéses de continuité, donc à mon avis, il est peut-être possible de prouver l'existence d'un tel en remarquant que .

Je regarde si j'arrive à trouver quelque chose . Cela dit, j'aime pas trop ces vieux bouquins avec leurs notations exotiques ...

PS : mon epsilon n'a rien à voir avec l'epsilon du .pdf, car le mien ne varie pas en fonction de x .

[Arnaud-29-31]

Si tu as un nombre a et un nombre b, il existe forcement un c tel que a = b + c il suffit de prendre c = a - b, on est d'accord ?

Bein ici c'est pareil mais avec des fonctions, je reprend :

Si on introduit une fonction telle que alors on a bien .

Ensuite par passage à la limite :

et donc vérifie

Il ne te reste plus qu'à multiplier par de chaque coté de l'égalité l'expression pour obtenir l'expression voulue.

[Olympus]

Bien sûr, mais je ne vois pas à quoi sert cet epsilon . Cela a juste l'air d'être une égalité triviale mais sans aucune utilité .

[Arnaud-29-31]

Et oui c'est trivial, mais l'utilité est énorme !

Si je vais dans ton sens lorsque j'écris tu vas me demander a quoi sert le epsilon, ca a juste l'air d'être une égalité triviale et pourtant les développements limités sont loin d'être sans aucune utilité ...

[ft73]

[calogerogigante]

En fait, mon objectif premier, c'est de bien comprendre dans le détail et avec raisonnement, d'où provient cette notation (qu'on appelle aussi la notation de Leibniz) :



Je veux bien faire l'effort de me passer de l'explication donnée par le livre Schaums, qui pour une fois, n'est vraiment pas claire du tout... (ce qui n'est pas la généralité car je trouve la série des Schaums vraiment limpide d'accoutumée).

Mais j'aimerais comprendre la théorie quand même qui amène à l'écriture différentielle, tellement utilisée dans tous les ouvrages de physique et de math :



Avez-vous une autre théorie, une autre démonstration que cette expression ci-dessus peut être écrite de la sorte ?

Si je reviens au livre Schaums : est-il possible de détailler étape par étape, avec une petite phrase explicative, comment on arrive de :



à



Je sais que je suis gonflé et que je demande peut-être un peu beaucoup ???
Mais je butte vraiment sur cet artefact de l'ajout d'une "fonction" epsilon...

Je signale qu'il n'y a que le bas de la page 58 et le haut de la page 59 que je ne saisis pas : tout le reste, je crois avoir bien compris ! :lol3:

[Arnaud-29-31]

Bein la je ne vois vraiment pas ce qui bloque ... Je veut bien le reformuler encore une fois :

On a (On ajoute et on enlève donc ca s'annule et il reste bien )

On pose

On a donc maintenant

Par passage à la limite ( ) on obtient
D'où

Je multiplie l'expression par et j'obtiens

D'où l'expression finale ...

Le schéma de ft73 est une très bonne illustration, tu remarqueras que son a correspond à ton x, son h à ton et son à ton

[calogerogigante]

Merci de ta persévérance Arnaud, je prends bien note de ton développement, je vais réfléchir encore une fois dans le contexte des explications du bouquin, et je laisse passer une nuit de sommeil là-dessus... Je reviens demain sur le forum pour voir si j'ai avancé un peu dans cette décortication. :we:

[Arnaud-29-31]

De rien.
J'espère t'avoir tout de même aidé un peu ...
Bon courage ^^
Bonne soirée

[calogerogigante]

Pas beaucoup le temps d'avancer dans mes loisirs matheux ces derniers jours, mais je dois poster ici absolument un lien vers un fichier pdf trouvé sur le net, qui explique avec un peu plus de détails le même genre de développement, pour arriver à la notation différentielle :

http://www.iut-orsay.fr/dptmphy/Pedagogie/Mathematiques/S1/Cours-6-La-notation-diff%E9rentielle.pdf

et aussi ceci est à noter :

http://fr.wikiversity.org/wiki/Notions_sur_les_diff%C3%A9rentielles/Notation_diff%C3%A9rentielle

[calogerogigante]

Quand je relis les notes de l'extrait du livre Schaums et le dernier lien que j'ai donné ci-dessus, je pense qu'il y a une petite erreur (qu'on a tous fait) concernant l'interprétation de .

En fait, epsilon est une fonction d'UNE variable et cette variable est et non pas x...

Ceci est plus évident à comprendre quand on écrit u au lieu de .



J'approche de la compréhension. Mais j'ai une dernière question concernant .

Comment une fonction epsilon peut-elle être seulement basée sur une variable u (càd ) alors qu'il y a aussi des x simples dans l'expression de ?

Intuitivement, j'aurais dit moi dépend de deux variables : et

???

[MacManus]

Bonjour.

correspond à une "petite" variation sur l'axe réel.
(h>0 par exemple : cf. graphique de ft73). Tu peux renommer par u ou par h, cela ne change rien, puisqu'il s'agit toujours de la variable simple x dont on parle.

Enfin bon, je ne sais pas si je suis clair ou même rigoureux, mais je pense que l'on a pas besoin de se torturer l'esprit :happy3:

[calogerogigante]

Se torturer l'esprit : n'est-ce pas le propre de la mathématique ?
:ptdr:

Je m'efforce de comprendre dans le détail pourquoi dy/dx = f'(x) car les différentielles sont une notion très importante et je n'ai pas pour habitude de survoler ce que j'essaie d'analyser... Simplement, voilà tout ! :zen:

MacManus, je suis d'accord avec ce que tu écris, mais moi, ce qui me turlupine : c'est la compréhension de

Je répète ma question car ça me tracasse :

Comment une fonction epsilon peut-elle être seulement basée sur une variable u (càd ) alors qu'il y a aussi des x simples dans l'expression de ?

[MacManus]

On peut écrire cette fonction epsilon en fonction de la variable réelle ou bien en fonction du pas fixé (u ou h peu importe).

Si l'on écrit , il faut faire attention à ce que ce soit que l'on fait tendre vers 0, et non pas x.

Si l'on écrit , il faut faire attention à ce que ce soit , ou encore que l'on fait tendre vers 0.