[TS] Capes 2010 Analyse Partie 1

[benekire2]

Bonjour à tous,

Aujourd'hui je propose un exercice qui est en fait la première partie ( sur 5 ) du sujet d'analyse du CAPES de 2010. C'est bien sûr abordable par un lycéen.
Cela dit, cette partie a pas dû compter pour grand chose au niveau des points attribués ...

Énoncé:

Soit a la suite définie pour tout entiers strictements positifs par
Soit S définie pour tout n entiers tels que n>0 et:


Enfin, on défini H sur N par et pour tout n >0 par :


...1. Soit Montrer que

...2. En déduire que la suite S est majorée, puis qu'elle converge et que sa limite appartient à l'intervalle [0,1].

...3. Vérifier que pour tout p entier strictement positif on a :

puis montrer que pour tout entier on a :


...4. En déduire un encadrement de S_m-S_n avec m et n des entiers tels que . Montrer alors que pour tout entier n>0 on a :


...5. Montrer que l'on a le développement asymptotique suivant :

i.e que


...6. Soit n un entier tel que n>0 On pose Montrer que :



...7. Déterminer un entier n>0 pour lequel est une valeur approchée de à près. Déterminer alors un encadrement e à près.

Bon travail :happy3:

[Nightmare]

Yo,

tu en es où ? Les énoncés du Capes ne sont généralement pas trop compliqués, même en général assez classiques, mais tout de même à ne pas prendre à la légère.

[benekire2]

J'ai fini cette partie en ce qui me concerne. C'est pour ça que je la poste.

[windows7]

salut

il ya a une generalisation sur IR+ avec une fonction integrable positive strictement decroissante, si tu veux regarder apres ..

[benekire2]

Je déterre,

Je crois que ce topic n'a pas intéresser grand monde , cela dit j'aurais pas trop pu le poser dans la section supérieur. Je propose donc la correction de la première question, les autres suivront.


...1. On peut encadrer "bêtement" notre intégrale de la manière suivante :



Il en résulte immédiatement que
De plus en multipliant par -1 l'inégalité et en ajoutant on achève de montrer le résultat.

[benekire2]

...2.

On montre grâce à la question précédente que la suite est croissante.
Toujours via le résultat précédent, on a

Du coup, est croissante et majorée donc elle converge vers

[Dinozzo13]

5. Montrer que l'on a le développement asymptotique suivant :

i.e que

Ici il faut montrer que :
Pourquoi parler de dévelopement asymptotique ?

[benekire2]

Parce que c'en est un :zen:

Tu as fait la 3 et la 4 ?

[Dinozzo13]

Nam, tu m'excuseras mais là j'ai pas trop envie de bosser ^^

En fait t'as voulu expliciter la question donnée au CAPES c'est ça ?

[benekire2]

Voici la suite de la correction :

...3. On doit donc montrer que

Ceci revient donc à dire que

Or, d'où:


(la dernière étape par changement de variable)

Par suite,

ainsi en intégrant
soit car p>0 et on arrive facilement au résultat demandé.

[benekire2]

...4. On remarque que
ainsi En sommant l'inégalité précédente entre n+1 et m on obtient :



En faisant tendre m vers l'infini, ( C'est pas trop trop justifiable au lycée mais assez intuitif ) on trouve :

[benekire2]

...5. Clairement par ce qui précède :



Ainsi comme on réécrit :


d'où,


Et le théorème des gendarmes permet de conclure !

...6. On utilise la 4 et on soustrait 1/(2n+2) pour avoir le résultat.

...7. On prend n=7 ,