Limite de suites

par **laetitia1322** » 29 Aoû 2010, 19:21

bonjour ,

donner la limite des suites suivantes , lorsqu'elle existe :

Un = 2cos(n/pi) / 3n+1

alors je ne sais pas si la limite de cette suite existe c'est pour cela que je demande comment la résoudre , j'ai essayé avec le théorème des gendarmes :

(-2n/pi) / 3n+1 < Un < (2n/pi)/ 3n+1

donc puisque lim (2n/pi)/3n+1 avec n->+oo = 0 alors lim Un avec n->+oo = 0

merci de votre aide

par **gigamesh** » 29 Aoû 2010, 19:49

Bonsoir,
le problème est que (-2n/pi)/(3n+1) tend vers -2/(3pi) et pas vers zéro...

Mais l'idée d'utiliser les gendarmes est correcte.
Encadre l'expression en utilisant que -1 <= cos(...) <= 1

par **laetitia1322** » 29 Aoû 2010, 21:34

a oui mais le probleme cest que le théoreme dit : .... VnCependant Vn et Wn ne convergent pas vers la meme limite puisque Vn converge vers -2/3pi et Wn converge vers 2/3pi donc d'apres le théoreme la suite d'admet pas de limite puisque lim Vn différent de lim Wn non ?

par **girdav** » 29 Aoû 2010, 22:14

laetitia1322 a écrit:a oui mais le probleme cest que le théoreme dit : .... Vn<Un<Wn et si les suites Vn et Wn convergent vers une meme limite L alors la suite Un converge aussi vers L .
Cependant Vn et Wn ne convergent pas vers la meme limite puisque Vn converge vers -2/3pi et Wn converge vers 2/3pi donc d'apres le théoreme la suite d'admet pas de limite puisque lim Vn différent de lim Wn non ?

Ça, on ne peut pas en décider puisque tu ne définis à aucun moment

et

. On peut tout de même obtenir "les bons" grâce à l'encadrement que donne gigamesh.

par **gigamesh** » 30 Aoû 2010, 01:06

laetitia1322 a écrit:a oui mais le probleme cest que le théoreme dit : .... Vn<Un<Wn et si les suites Vn et Wn convergent vers une meme limite L alors la suite Un converge aussi vers L .
Cependant Vn et Wn ne convergent pas vers la meme limite puisque Vn converge vers -2/3pi et Wn converge vers 2/3pi donc d'apres le théoreme la suite d'admet pas de limite puisque lim Vn différent de lim Wn non ?

Non.
Tu commets ici une erreur de raisonnement.
le théorème des gendarmes est sur le modèle "si patati alors patata".
il n'affirme pas que "si on n'a pas patati alors on n'a pas patata".

Par exemple, "si ABCD est un losange, alors ABCD a des diagonales de même milieu" ne signifie pas que "si ABCD n'est pas un losange alors ABCD n'a pas des diagonales de même milieu", cette dernière proposition étant bien entendu fausse (prends un parallélogramme qui n'est pas un losange...).

en fait "si non A alors non B" équivaut à "si B alors A" et est la réciproque de "si A alors B", et une propriété peut être vraie sans que sa réciproque le soit.

Tu peux voir l'erreur plus simplement, avec un contre-exemple. On pose

,

et

pour tout n entier naturel ; alors on a bien

pour tout naturel n ; et

tandis que

donc les deux suites n'ont pas la même limite ; pourtant

converge vers 2.

par **laetitia1322** » 30 Aoû 2010, 08:56

a bon alors qu est ce que je marque ? parce que si c'est pas ça je ne vois pas pourquoi la suite Un converge vers -2/3pi et pas 2/3pi et sur la cacultatrice cela converge pas vers -2/3pi

par **laetitia1322** » 31 Aoû 2010, 11:32

alors .... ?

par **girdav** » 31 Aoû 2010, 11:42

laetitia1322 a écrit:a bon alors qu est ce que je marque ? parce que si c'est pas ça je ne vois pas pourquoi la suite Un converge vers -2/3pi et pas 2/3pi et sur la cacultatrice cela converge pas vers -2/3pi

Et pour cause : u_n tend vers 0. Es-tu d'accord avec l'encadrement

?

par **laetitia1322** » 31 Aoû 2010, 11:53

non je ne comprends pas l'encadrement : on est le n/pi ?
pouvez vous m'expliquer ?

par **girdav** » 31 Aoû 2010, 11:56

On a toujours

.

par **laetitia1322** » 31 Aoû 2010, 12:15

oui je sais :

-1-2<2cos n<2
-2/pi<2cos n/pi < 2/pi
(-2/pi) / 3n+1 < (2cosn/pi)/3n+1 < (2/pi)/3n+1

par **girdav** » 31 Aoû 2010, 15:29

Attention : tel que tu l'écris dans le premier message, le

est dans le

: il faut donc partie du "truc" de mon message précédent.

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